最长公共子序列LCS

最长公共子序列

最长公共子序列问题描述：
给定两个字符串（或数字序列）A和B,求一个字符串，使得这个字符串是A和B的最长公共部分（子序列可以不连续）

暴力解法

设字符串A和B的长度分别是n和m，那么对两个字符串中的每个字符，分别有选与不选两个决策，而得到子序列后
比较两个子序列是否相同有需要O(max(m,n))，这样总的复杂度就会达到O(2^(m+n)*max(m,n))，无法承受较大数据

动态规划解法

令dp[i][j]表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS长度（下标从1开始）两种决策如下：
1. 若A[i]==B[j]则字符串A与字符串B的LCS增加了1位，即dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+!

1. 若A[i]!=B[j]，则字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS无法延长，因此dp[i][j]将会继承dp[i-1][j]与dp[i][j-1]
   z中的较大值，即dp[i][j]= max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]}

由此可以得到状态转移方程：
dp[i][j]= dp[i-1][j-1]+1,A[i]==B[j]
max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]},A[i]!=B[j]
边界：dp[i][0]=dp[0][j]=0(0<=i<=n,0<=j<=m)
时间复杂度为O(nm)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
char A[N],B[N];
int dp[N][N];
int main(){
    int n;
    gets(A+1);//从下标为1开始读入
    gets(B+1);
    int lenA = strlen(A+1);
    int lenB = strlen(B+1);
    for(int i=0;i<=lenA;i++){
        dp[i][0] = 0;
    }
    for(int j=0;j<=lenB;j++){
        dp[0][j] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=lenA;i++){
        for(int j=1;j<=lenB;j++){
            if(A[i]==B[j]){
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
            }else{
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[lenA][lenB]);
    return 0;
}