最近刚刚结束了算法分析课程，并结束了考试，败在了最长公共子序列 的问题上，非常懊悔，于是把最长公共子序列问题拿出来再次学习。
一、什么是最长公共子序列
什么是最长公共子序列呢？举个简单的例子吧，一个数列S，若分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
举例如下，如：有两个随机数列，1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 8 9，则它们的最长公共子序列便是：3 4 5。
我在考试中由于对最长公共子序列一窍不通，于是乎自己瞎猜了一下他的定义，猜成了最长公共子集合，异常尴尬，导致题错的干干净净。。。这里先来回顾下最长公共子序列的定义知识。
算法导论书上介绍的子序列的定义是：一个给定序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。
给定两个序列X和Y，如果Z既是X的子序列，也是Y的子序列，我们称它是X和Y的公共子序列。
最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：
子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。
至于公共子集合。。。那就是可以改变序列的顺序也可以不连续了吧。。。
二、蛮力法
蛮力法是解决最长公共子序列问题最容易想到的方法，即对S的每一个子序列，检查是否为T的子序列，从而确定它是否为S和T的公共子序列，并且选出最长的公共子序列。
S和T的所有子序列都检查过后即可求出S和T的最长公共子序列。S的一个子序列相应于下标序列1,2，…，n的一个子序列。因此，S共有2^n个子序列。当然，T也有2^m个子序列。
因此，蛮力法的时间复杂度为O(2^n * 2^m)，这可是指数级别的啊。
三、动态规划方法
无论是哪里，一种更快的方式都是值得提倡的，这里重点讲解书上的动态规划方法。
刻画最长公共子序列问题一共需要
1.刻画最长公共子序列的特征
2.步骤二：一个递归解
3.步骤三：计算LCS的长度
根据上图，我们可以得到其中公共子串：B C B A 和 B D A B。
以上截取自课本《算法导论》。。。我记录下这个算法在图中实现的过程
1.定义X序列和Y序列，X序列对应行，Y序列对应列，首先将元素填入行和列然后将0行0列分别填0（因为一个字符串为空必定没有公共子序列）
2.首先从1行1列开始填，看横纵坐标轴元素，若元素相同，值为左上角值加一，画指向左上角的箭头；若元素不相同，看上面和左面的值，哪一个大就填写哪一个值，并将箭头指向这个位置（前趋），若值相同则指向上方位置（其实这里指向上面还是左面都是可以的，只要过程中使用同样规则就好）；直到整个矩阵填写完毕，最右下角的值即为最长公共子序列的长度
3.从最右下角往回回溯，每次遇见斜向指出的箭头，即记下来斜向箭头的出发点元素。最终到最左上角位置。得到一个逆序的目的子序列，反转即得到最终想要得到的最长公共子序列。
四.程序思想
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。
public class LCSProblem
{
public static void main(String[] args)
{
//保留空字符串是为了getLength()方法的完整性也可以不保留
//但是在getLength()方法里面必须额外的初始化c[][]第一个行第一列
String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};
String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};
int[][] b = getLength(x, y);
Display(b, x, x.length-1, y.length-1);
}
/**
* @param x
* @param y
* @return 返回一个记录决定搜索的方向的数组
*/
public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)
{
int[][] b = new int[x.length][y.length];
int[][] c = new int[x.length][y.length];
for(int i=1; i<x.length; i++)
{
for(int j=1; j<y.length; j++)
{
//对应第一个性质
if( x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = 1;
}
//对应第二或者第三个性质
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 0;
}
//对应第二或者第三个性质
else
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = -1;
}
}
}
return b;
}
//回溯的基本实现，采取递归的方式
public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)
{
if(i == 0 || j == 0)
return;
if(b[i][j] == 1)
{
Display(b, x, i-1, j-1);
System.out.print(x[i] + " ");
}
else if(b[i][j] == 0)
{
Display(b, x, i-1, j);
}
else if(b[i][j] == -1)
{
Display(b, x, i, j-1);
}
}
}补：最长公共子字符串：类似最长子序列，只是公共子字符串要求必须是连续的。
java实现代码如下：
public class stringCompare {
//在动态规划矩阵生成方式当中，每生成一行，前面的那一行就已经没有用了，因此这里只需使用一维数组，而不是常用的二位数组
public static void getLCString(char[] str1, char[] str2) {
int len1, len2;
len1 = str1.length;
len2 = str2.length;
int maxLen = len1 > len2 ? len1 : len2;
int[] max = new int[maxLen];// 保存最长子串长度的数组
int[] maxIndex = new int[maxLen];// 保存最长子串长度最大索引的数组
int[] c = new int[maxLen];
int i, j;
for (i = 0; i < len2; i++) {
for (j = len1 - 1; j >= 0; j--) {
if (str2[i] == str1[j]) {
if ((i == 0) || (j == 0))
c[j] = 1;
else
c[j] = c[j - 1] + 1;//此时C[j-1]还是上次循环中的值，因为还没被重新赋值
} else {
c[j] = 0;
}
// 如果是大于那暂时只有一个是最长的,而且要把后面的清0;
if (c[j] > max[0]) {
max[0] = c[j];
maxIndex[0] = j;
for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
max[k] = 0;
maxIndex[k] = 0;
}
}
// 有多个是相同长度的子串
else if (c[j] == max[0]) {
for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
if (max[k] == 0) {
max[k] = c[j];
maxIndex[k] = j;
break; // 在后面加一个就要退出循环了
}
}
}
}
for (int temp : c) {
System.out.print(temp);
}
System.out.println();
}
//打印最长子字符串
for (j = 0; j < maxLen; j++) {
if (max[j] > 0) {
System.out.println("第" + (j + 1) + "个公共子串:");
for (i = maxIndex[j] - max[j] + 1; i <= maxIndex[j]; i++)
System.out.print(str1[i]);
System.out.println(" ");
}
}
}
public static void main(String[] args) {
String str1 = new String("binghaven");
String str2 = new String("jingseven");
getLCString(str1.toCharArray(), str2.toCharArray());
}
}