问题描述
栋栋正在和同学们玩一个数字游戏。
游戏的规则是这样的：栋栋和同学们一共n个人围坐在一圈。栋栋首先说出数字1。接下来，坐在栋栋左手边的同学要说下一个数字2。再下面的一个同学要从上一个同学说的数字往下数两个数说出来，也就是说4。下一个同学要往下数三个数，说7。依次类推。
为了使数字不至于太大，栋栋和同学们约定，当在心中数到 k-1 时，下一个数字从0开始数。例如，当k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：
1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7。
游戏进行了一会儿，栋栋想知道，到目前为止，他所有说出的数字的总和是多少。
输入格式
输入的第一行包含三个整数 n,k,T，其中 n 和 k 的意义如上面所述，T 表示到目前为止栋栋一共说出的数字个数。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示栋栋说出所有数的和。
样例输入
3 13 3
样例输出
17
样例说明
栋栋说出的数依次为1, 7, 9，和为17。
数据规模和约定
1 < n,k,T < 1,000,000；
这个题看似很简单，从头到尾，挨个算，挨个加就行，一开始我的思路也是这样的，于是就写出了这样一个代码，得了66分，后两个超时。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,k,t,tmp=1;
long long sum=0;
cin>>n>>k>>t;
for(int i=1;i<=(t-1)*n+1;i++)//从头开始把所有序列都算出来
{
tmp=(tmp+i-1)%k;
if(i%n==1)
sum+=tmp;
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
再后来，我找到一个规律（下文中n，k，t与原题中含义相同）
当k为偶数时，同学们数数的序列是以2*k为周期循环的
当k为奇数时，同学们数数的序列是以k为周期循环的
例如当k=13时数数序列为
1 2 4 7 11 3 9 3 11 7 4 11 2 4 7 11 3 9 3 11 7 4 1……
例如当k=12时数数的序列为
1 2 4 7 11 4 10 5 1 10 8 7 7 8 10 1 5 10 4 11 7 4 2 11 2 4 7 11 4 10 5 1 10 8 7 7 8 10 1 5 10 4 11 7 4 2 1…………
于是我我们可以把一个周期的序列制成一个表格，然后每次只读出栋栋数的那个数就可以，将一个周期的序列从0开始编号，存储到一个Num容器里，每次只读栋栋数的数，这样速度大大加快。
提交结果得了83分，原因是栋栋的数的数的编号可能超过了long long范围
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> Num;
int main()
{
int n,k,t,tn;
long long sum=0,No,tmp=1;
cin>>n>>k>>t;
tn=(k%2==0)?2*k:k;
for(int i=0;i<tn;i++)//将数数的序列的一个周期制作成一个表格存储
{
tmp=(tmp+i)%k;
Num.push_back(tmp);
}
for(int i=0;i<t;i++)
{
No=i*n;//No用来计算栋栋数的数的编号
sum+=Num[No%tn];
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
转念一想既然数数的序列有规律，那么栋栋数的数的编号，是不是也有周期性规律
栋栋数的数的编号是以k为周期循环的
比如当k=13时栋栋数的数在Num中编号的序列是
0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 100 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10……
比如当k=12时栋栋数的数在Num中编号的序列是：
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22……
这样我们只需要算出栋栋数的数的编号的一个周期的和，看看数了几个周期，最后加上不足一个周期数的数的和即可
AC代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> Num,No;
int main()
{
int n,k,t,tn,tmp1=1,tmp2=0;
long long sum=0,tsum=0;
cin>>n>>k>>t;
tn=(k%2==0)?2*k:k;
No.push_back(0);
for(int i=0;i<2*tn;i++)
{
tmp1=(tmp1+i)%k;
Num.push_back(tmp1);
tmp2=(tmp2+n)%tn;//为了方便，当k为偶数时，栋栋数的数的编号序列我取2*k为一个周期
No.push_back(tmp2);
}
for(int i=0;i<tn;i++)//算出一个数数周期数的数的和
tsum+=Num[No[i]];
for(int i=0;i<t%tn;i++)//算出不足一个数数周期时数的数的和
sum+=Num[No[i]];
sum+=(tsum*(t/tn));//看看数了几个周期
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
还有一种方法，就是看跳步数，拿上面的例子n=3，k=13，t=3来说
可以设栋栋开始数的数为num=1设初始和sum=1，，跳步为step=（3+1）*3/2=6
下一个num=1+6=7，sum=1+7=8，跳步step=（4+6）*3/2=15
下一个num=1+6+15=22，超过了12，于是22%13=9，sum=1+7+8+9=17，跳步=（7+9）*3/2=24
于是我们发现一个规律，跳步数为初始值为（n*1）*n/2,公差为n*n的等差数列，num每次超过k-1，都要对k取余
这样就简单了，代码如下
已AC
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long n,k,t;
long long sum=1,num=1,step;//注意step，num，sum都要设为long long
cin>>n>>k>>t;
step=(n+1)*n/2;//初始step
for(int i=1;i<t;i++)
{
num+=step;
step+=n*n;
if(num>=k-1)
num%=k;
sum+=num;
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
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作者：Hoper_
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/ReidSC/article/details/65734798
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