关于“无穷”的概念---数学笔记“无穷”

1.为什么要研究"无穷"问题

“无穷”这个概念一般人都是既知道又不知道，头脑里大体能想象，但是无法精确。

自数学发展以来，无穷大就一直困扰着人类。什么是无穷呢？无穷就是没有尽头。设想一下自然数，假设一个人从1开始数自然数，无论他多么勤奋，无论他的寿命有多长，他都数不完，理由很简单：假设他数到的最后一个数是n，那么n+1也是自然数！

这样看起来，对于我们人类来说，无穷大其实就是不可数，无穷大其实不是一个具体的数，而只是一个想法，它只存在于头脑抽象概念中，但真正问题在于它的不确定性，不知道哪里是尽头，不知道最大是多少。

与无穷大相反的方向，它的反面被称为无穷小，它的性质也同样奇怪。并且无穷小不是整数，它只能表达为一个实数，与整数不同的是，实数不是固定的，它们的分裂性质使我们能够在任意两个数之间找到并创造无数个数。

一个数可以被多次组合，多次分割。在0和1之间可能有100个数，从0.01到0.99之间甚至是几百万个，只需要在小数点后加0，一直分割这个数，就会产生许多新的数。因此，虽然0.00000000000000001 看起来很小，但可以把它除以10，从而创建一个新的无穷小的0.000000000000000001。

因此，就像无穷大一样，无穷小只存在于抽象中。同样的，它也具有不确定性性质，即它的分裂性质，我们能够在任意两个无限小的实数之间找到并创造无限个数！

既然无穷大和无穷小都只是人们头脑中抽象概念，在自然界中找不到具体的确定的实物与之对应，那为什么还有研究这个问题呢？我想最主要的原因是：”不确定性“。数学是一门精密逻辑语言，它是研究精确性和确定性的学问，数学的目标之一就是要给研究对象一个精确性确定性的答案。同时数学是人脑思维的语言，思维指导行动。所以在我们对现实本质的认识中，数学上的不确定性会导致物理现实上的不确定性。

2.“实无穷”与“潜无穷”

无穷问题它既是一个数学问题，也是一个哲学问题，因为它不确定。在数学哲学中，对于无穷问题的探讨，自古以来一直存在争论，主要表现为两种思想。一派是“实无穷”观点，另一派是“潜无穷”观点。

“实无穷”思想是指： “全体自然数”是存在的，虽然数不完，但既然都存在，我们为什么不可以把他看做是一个“全体”？这最早是古希腊的哲学家柏拉图提出的观点，叫做“实在无穷”观点。换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。

”潜无穷“思想是指：“自然数”是数不完的，我们永远也无法得到自然数的全体，这无穷表现为变化发展的过程，永远完成不了，是潜在的，所以叫做“潜无穷”，这最早是亚里士多德提出来的。亚里士多德是柏拉图的学生，他有一句话常被引用：“我爱我师，但我更爱真理”。

自古希腊以来2000多年的发展史中，多数哲学家和数学家赞同亚里士多德的“潜无穷”观点。

比如，笛卡尔认为：我们就不该进入对无穷的讨论，由于我们自身不是无穷，因此让我们去决定任何与无穷相关的事物是荒谬的。对于那些问我直线的一半是不是无穷，一个无穷的数是奇数还是偶数等问题的人，我们不要去理会他们，人不应该去想这个问题，除非他认为他的头脑是无穷的。

高斯在给朋友的信中以非常坚决的口气表明了他的见解：我反对把无穷量当做一种完成的实体来使用。这在数学中是绝对不允许的，无穷不过是谈及极限时的一种说话的方式而已。

虽然如此，“实无穷”的观点并未完全消失。伽利略（1564-1642）是第一个认真思考过它的科学家。后来到了康托（1845-1918）集合论创立以后，对实在无穷的研究有了重要进展。

3.伽利略的困惑

伽利略（1564-1642）是第一个认真思考过“实无穷“的科学家
他当时就已经考虑到比较两个集合的对应关系了。
他考虑两个实无穷，全体自然数
{1，2，3，4，5，…}

全体完全平方数
{1，4，9，16，25，…}
也构成实无穷，那么，要比较他们的多少，是自然数多呢？还是完全平方数多？

直观上看，当然是自然数多。前10个自然数里，完全平方数只有1,4,9三个；在前100个自然数里，完全平方数只有10个，占10%；在前1万个自然数里，完全平方数有100个，只占1%；在前1亿个自然数里，完全平方数更微不足道了，只占0.01%。看起来，自然数比完全平方数多得多。

可是，另一个角度看，有一个自然数，便有一个完全平方数，他们有着一一对应的关系：

$1 ， 2， 3， 4， 5，.....$

$1^2 ， 2^2， 3^2， 4^2， 5^2， .....$

把所有的自然数排成一行，然后每个自然数肩膀上加个小小的2，便构成全体完全平方数，难道加了一个小小的平方，就把全体自然数变少了吗？伽利略没有解决这个难题，他把这个困惑留给了后人。

4.“实无穷”把无穷看做是一个集合，进而研究无穷集合的一一对应问题。

前面说了，实无穷的观念是把无穷看做是一个“全体”，其实就是一个集合。进而研究这个集合的问题。首先自然想到的研究它的大小问题。假定有两个集合A与B，怎么比较他们的大小？对于集合来说，大小并不是单个元素的大小，而是指集合元素的个数。

不管是有穷集还是无穷集，如果能在A与B两个集合的元素之间建立一一对应的关系，就应该承认A与B的元素一样多。这是康托提出的观点，也是现代数学承认的观点。

所以集合的大小不能简单地叫做“大小”了，用数学语言表达：叫势（cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。

对于无穷集合来说，就转化为研究它们之间元素的对应关系上。

5.康托的“对角线法”

康托建立了集合论（set theory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小（“势”的问题）。

康托在1874年发表的论文，证明了实数集合大于自然数集合。这是他最重要的贡献。

他用的是反证法。

1.假设实数集合和自然数集合是一样大的
2.那么必然存在一个自然数集合和实数集合的一一对应关系，所以就可以将实数列出（这个时候是不用考虑大小顺序的，因为是一一对应关系，所以只用列出就好）

3.考虑有一条线段[0,1]，线段上有无穷多个点，给线段上的点全部编号，每个点的编号和自然数一一对应，全体点的编号一一对应于全体自然数。
即，x(1), x(2) ,x(3) ,x(4),…,x(k),…

2.每个点的长度对应一个0到1之间的实数。每个点对应一个实数，这样就建立了自然数集与实数集的一一对应关系。

每一个点的长度都能以小数形式表达, 并且在表达形式上，把该小数写成小数点后具有无穷位小数。例如0.50000000…=0.499999999…，在表达形式上，我们选择后者。

该数列小数形式表现如下:

$x(1)=0.x_{11}x_{12}x_{13}x_{14}.....x_{1n}......$
$x(2)=0.x_{21}x_{22}x_{23}x_{24}.....x_{2n}......$
$x(3)=0.x_{31} x_{32}x_{33}x_{34}.....x_{3n}......$
$x(4)=0.x_{41} x_{42}x_{43}x_{44}.....x_{4n}......$
$x(5)=0.x_{51} x_{52}x_{53}x_{54}.....x_{5n}......$
$x(6)=0.x_{61} x_{62}x_{63}x_{64}.....x_{6n}......$
$x(7)=0.x_{71} x_{72}x_{73}x_{74}.....x_{7n}......$
…
…

$x(k)=0.x_{k1}x_{k2}x_{k3}x_{k4}.....x_{kn}..........$
…
…

举个直观的例子，例如
x(1) = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
x(2) = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
x(3) = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
x(4) = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
x(5) = 0 . 4 1 0 7 9 4 6
x(6) = 0 . 9 9 3 7 8 3 8
x(7) = 0 . 0 1 0 5 1 3 5…

在上述的小数表示方法中,每一个 $x_{ij}$ 都是0,1,2.3,4,5,6,7,8,9中的一个数.

此时，我们马上可以构造出一个 $y$ 来，

$y=0.y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}.....y_{n}......$

令， $y$ 的每一位 $y_{i}不等于x_{ii}$ ， $比如取y_{i}=x_{ii}+1, 如果y_{i}>=10,则取y_{i}=0$ ，这样 $y$ 就与实数序列x(1), x(2) ,x(3) ,x(4),…,x(k),… 中的每个数都不同。

用上面直观的例子
$y_{1}=x_{11}+1=5+1=6$
$y_{2}=x_{22}+1=1+1=2$
$y_{3}=x_{33}+1=4+1=3$
$y_{4}=x_{44}+1=0+1=1$
$y_{5}=x_{55}+1=9+1=10，只取个位数，y_{5}=0$
$y_{6}=x_{66}+1=3+1=4$
$y_{7}=x_{77}+1=5+1=6$

这样y就被构造出来了，y=0.6231046
显然，y与x(1)到x(7)之间的任何数都不相同。

这时候就构造出来一个新的实数 $y$ ， $y$ 和原数列 x(1), x(2) ,x(3) ,x(4),…,x(k),… 中的每个数都不同。

这样我们就构造出来原实数数列中不存在的一个实数，反证成功。

所以得到结论是，实数集合大于自然数集合。

这就是所谓的”对角线法“，对角线就是x(1)~x(n)那些黑色字体的数字。