理论数学真正要回答的问题就是：你所说的这个“东西”，它“存在”吗？
就好比，我们去一个水库，这个水库有各种自身的条件，如水深，水的成分及比例，水库实际体积，水温分布等等。然后我们给出一种鱼，描述完这个鱼的特点后（实际就是给出数学定义），问这个水库存在这种鱼吗？
现在把思路放开，把水库想象成某个科学领域或者分支，把鱼想象成某种科学家关系的东西，然后就问：在这个领域，这个东西是否存在？什么时候存在？条件是什么？（充分条件、必要条件、充要条件）；
应用数学不妨拿计算数学来简单说一下，它实际要解决的问题是：你说的这种东西如果存在，它在哪里？怎么快速得找到它？
就好比，你既然知道水库里有这条鱼，下一步自然是想要抓到它，只有找到并且抓到才能产生经济价值，这就是我们这个物质世界通常认为的“有用”。第一步要知道它大概在哪？（你在文献中读到一些关于最优解的性质描述基本就是在回答这个问题）；第二步就是怎么快速有效地抓到？（因为如果不考虑这个，当期抓鱼所化的资本都大于这条鱼真正价值的时候，就是在瞎忙活，所以算法复杂度必须要考虑）；在第二步中，如果出现要精准抓到这条鱼，在最坏的情况下，就必须不计成本，怎么办？如果真的是这样，就不不要抓得太精确了，因为风险太多，就算抓到收益的期望值也为一个大负数，图啥？那就退而求其次呗，我们给出一个资金或者时间的限制，最多就是这些钱和这些时间来，你多少给我捞一条上来，总不能白瞎了这一会功夫。这种时候，一定能抓条鱼上来，那到底是不是你想要的那一条呢？这就不好说了。所以，必须衡量这条抓上来的鱼和你真正想要的鱼的“相似度”（优化理论通常称为收敛解与理论最优解的“距离”，一般一篇完整的优化算法论文在其算法结束部分看到的一大堆关于x与x*之间的不等式估计，就是在干这件事）。
分析理论数学和应用数学的各自特点，我们很难说出理论数学和应用数学那个对社会贡献大。理论数学解决的是一种最本质的东西，是一切的基本，没有它对存在性的回答，应用数学是不可能接着往下做的。可能现实世界中也见到那种没有回答存在性问题，但是按照经验感觉是存在的，就先默认存在，接着通过应用数学做出一系列所谓的好工作，可能的确赢得的利益，搏得了这个物质社会中物质的人的眼球，但是这种工作绝对是不完整的，是有风险的。但是没有应用数学，光有理论数学行吗？当然不行，因为不去抓鱼，就没有经济效益，就没有钱，就没饭吃了。
我的建议是，学应用数学的一定要磨炼自己的理论基础。不要去轻蔑和贬低理论学家，也许你比那些做理论的有钱，但是绝不能说你比人家贡献大，应该内心对那些理论学家心存钦佩。如果我们分辨不出理论贡献和应用贡献的大小，姑且将他们对等看待，但是理论学家获得的物质回报通常远远小于做应用的专家，就凭这一点，就得由衷地钦佩他们。