从小到大，对于学数学这件事可谓是爱恨交加，心中不断萌生出的问题也有时候让自己很迷茫。
为什么要学数学？为什么要学数学证明？就算在计算机时代为啥还要练习运算能力？为什么要学现代分析这类抽象性的数学？…
本人不是数学高手，学习数学多年（本科硕士均是数学），也只是学到一点皮毛。主要原因是沉不下心来，没有动力。数学这种东西特别依赖基础，环环相扣，前期的松懈和不努力，导致沙盘太小，注定你的“知识沙堆”垒不高。写下这篇心得，只是希望后面的学弟学妹不要走跟我一样的弯路。
这里，我就用提问和回答的方式阐述我对数学的理解吧！
问：为什么要学数学？
答：其实数学有二美，即逻辑美和形式美。学了数学的人，一般逻辑思维都非常缜密。这份缜密会让你在日常工作中游刃有余。不管是向有关领导作报告，还是跟商家谈合同，亦或是参加辩论赛等等。这份逻辑美是让所有学过数学的人都终身受益的。而数学的形式美表现在用简单的符号和公式表达事物的本质，这份美是大部分搞研究的学者都深有体会的。数学即使一种语言更是一种工具。数学语言将世界上最聪明的人的想法传递出来，如果没有数学，很难想象科学家们应该怎样将看起来那么复杂的理论结果以一种既简单又有效地方式传递出来，保证没有错，保证别人看完以后表示认可。数学是一种工具，这一点在当下大数据时代自不必多说。
问：为什么要学数学证明？
答：数学证明才是数学真正的魅力所在，他可以让任何一个有数学基础的人通过自己推导来验证别人的结果正确与否。如果没有数学证明，那么数学这个大厦早就崩塌了。想象一下，你记了一辈子用了一辈子的一个公式实质上是错的，那将是多么可怕。
问：就算在计算机时代为啥还要练习运算能力？
答：计算机的计算属于“死算”，是按照你的想法按部就班地算，借助于计算机硬件，他的功效相当于是一个拥有超强记忆力的人且这个人能够以惊人的速度做加减乘除，仅此而已。如果一个人完全丧失计算能力，只要是计算就依赖于计算机，这不是一件好事。比如一个数学工作如果计算能力不好，就会影响推理，其实推理过程就是一种计算。如果计算能力不行，陈景润，张益唐等做数论的数学家的工作就可能完不成。
问：为什么要学现代分析这类抽象性的数学？
答：这个问题困扰我多年，我一直以为什么抽象代数、现代分析、实变函数、复变函数这些比较抽象的数学理论课没啥用，也没啥兴趣，所以也没学好。这段时间看统计学文章，发现自己的数学基础真的很渣。慢慢地，我体会到什么是少壮不努力老大徒伤悲的感觉。
数学证明就像是走路。数学有好多领域，代数啊、几何啊、图论啊、分析啊、概率论与数理统计啊、控制科学啊、拓扑学啊、算法优化啊等等。每个领域都是一个独立的知识体系，就好比一张非常稠密的网，网中的节点就是这个领域大大小小的结论。我们都知道一个数学定理由已知条件和最终结论组成，我们不妨把已知条件和最终结论都看做这个领域知识网络上的一个点，这样数学证明其实就是“在这个网中，从起点出发，找出连接起点和终点的一条路”，让其他数学工作者能够沿着你的风向标从起点走到终点。
从一个地方去另一个地方的方式有很多，比如：走路、骑车、坐公交车、打的、坐大巴、坐火车、坐动车、坐高铁、坐飞机等等。如果你只是走路，我估计你应该是没出过省的，而且周期很长，效率很低。如果是坐飞机，那么全世界什么地方都不算远了，效率很高。数学证明推导也一样，如果你不借助于前人的结论，站在前人的肩膀上，凭借自己一步步走到终点。这种方式效率非常低。而有些人做证明就像搭了飞机一样，借助于前人的结论一下就到终点了，玩一圈看看四处风景后，开开心心地回来了。偶偶遇到去有些目的地的路非常难走，坐飞机不可行，坐高铁也不可行，那么他们会选择坐大巴，反正不到万不得已不会选择徒步旅行。查查他们的背景，经常出现“本科复旦数学系”、“本科北大数学系”、“中科院数学与系统研究生院”啥的，不免深感钦佩。而像我这样学这么多年都没学明白的学渣，如果要搞数学研究，无异于瘸着腿赶路，那个累啊，而且没有成效。现在经常有人问我学什么的？按以前我会脱口而出：我学数学的。现在学聪明了，我先了解对方学什么的。如果人家是工科的，比如学计算机的，我会回答：我学数学的。如果人家是学数学的，我会回答：我学优化的，偏计算机。如果问我母校，我打死也不轻易说出来，就说本科青岛念的，硕士福州念的，然后转移话题，坚决不黑自己母校。
如果读大学时，我问实变函数老师这个问题。他给我这么打比方，最终反问我：你是选择走路还是坐飞机呢？我肯定老老实实死命学，因为我搞清楚了这个东西的确有用。
接下来，我会再努力一点，把自己的交通方式提升一下。只有学会更加牛X的交通方式，才能真正徜徉在知识海洋，去任何你想去的地方。
证明的几个常用手法：极小反例法、反证法、数学归纳法。其中数学归纳法常常是一个主体框架，其中内嵌一些别的方法，例如：反正法、极小反例法等。如果一个定理的结论证不出来可以尝试强化条件或者弱化结论，先证明一个弱化的版本，再慢慢推进。也有比较奇葩的，原来结论证不出来，把结论再强化一下，突然证出来了，这个路子非常野性，但是目前已经解决好几个非常难的猜想了。反证法和极小反例法类似，都是构造性证明，而不是去找别人的结果顺着推导下去，反证法和极小反例法类这种技巧用得好的话，跟孙悟空翻筋斗云差不多，有跳步的作用，有时效率非常高。
其他更加常规的证明思路就是多记一些好的结论，理解性记忆，哪天碰到类似的条件和类似的结论，可以直接去找那个证明。看看是不是直接在它基础上，改一点点就可以证出自己的结果了，或者用他的证明思路来演算推导我们的定理，一切都靠尝试。目前看来，只要非常喜欢数学的人，才会把那么多抽象又美的公式啊，定理啊记在脑子里反复咀嚼，吸收其中的营养。像不等式的证明记住一些经典不等式结论就非常有用。对于概率论，一些经典的概率不等式结论常常是证明论文结果的敲门砖。
其实学术论文虽然有的篇幅非常长，都是纸老虎，它真正要传统出来的信息往往一两句话就能概括。其他工作都是从理论上和实验室佐证作者自己想法的正确性。读文章，不管哪个领域，精度50篇就够了，几个主要期刊均匀分一下，各读几篇，这种你就会大致了解这个领域的作者都是什么研究思路？最新的研究成果是什么？不同的期刊，对于论文排版以及内容方面有什么要求？等等。前期会很累，但是一般越过前期那个大门槛，后面读论文会非常快，相当于是一种学者之间的相互欣赏，相互交流。
问：我眼中的现在大学的大弊端是什么？
答：现在大学里大部分数学老师只是教会了学生知识点，相当于直接把你“拎”到一个学科各个重要的知识点，到处看看和参观参观各处的美好风景。很多学生只是在脑中堆积了一大堆景点（主要知识点，主要定理，主要结论），却很少有人去关注这些定理形成的过程，到底是怎么来的。只是把学科知识点传授出去，而不去传授如何走路，如何快跑，如何利用强大的交通工具在学科领域的知识海洋里自己自由徜徉。现在的学生离了老师这个“导游”，就风景也不会看，不会欣赏，路也不会自己走，老师不在，我就懒洋洋坐在石头上等老师回来。所以有很多大数学家建议学生不要只看一些教科书，只跟着老师走，去看看一些大家的名著如“几何原本”什么的，里面应该会教会学生怎么走路，怎么跑，怎么借助交通工具吧？应该会培养出学生鉴赏“名胜古迹”（重要的定理）的能力吧？应该会培养怎么自己找去下一个景点的小野路而不依赖导游吧？所以，想要学到数学真本事，必须要看外文名著，外文重要文献原文，尝试先自己一步步推导，将自己的思路跟作者对比，学习和借鉴高手们内在的功力，这才叫学习。
问：怎么才算“读懂了”某一领域的一本权威专著或者怎么才算在某一领域真正入门了？
答：我认为这样针对不同的阶段提出不同的要求。
对于本科生而言，当他认真读完一本专著时，可以总结概括出这本专著的几个基本假设、几个基本的证明套路、几个值得推敲的证明小技巧、以及几个重要的理论结果。然后合上书本，可以从几个基本条件出发遵循几个基本证明套路和有亮点的证明小技巧可以把理论结果自己推导出来，那就很OK了。这种基础一旦打下，将来必会前途无量。
对于硕士及以上研究生而言，再本科生的要求之上还需要做一些事情。首先，要思考这些假设条件是否合理？是否贴合实际？是否太强？是否冗余？等等；再者，要思考作者的证明是否达到完美，你能否给出一个结构化更强（一本结构化强的证明相对于松散的证明更加好理解）、证明过程更加简洁漂亮（几句话完事）的证明，以及作者当前的证明中哪些证明技巧不常见但是非常巧妙值得推敲学习的；最后，要思考作者给出的结论是否太弱，你是否可以通过自己推出一些其他有意思的结论。
如果能够完成以上要求，就算入门了，接下来可以结合自己的思维习惯和知识体系来做一些“新”的研究了。
以上仅是我一家之言，若有不同意见，勿喷，谢谢！