基础数学理论

LDLT；实对称(半)正定矩阵；顺序主子式；泰勒展开式

LDLT分解法简介

• 若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子式均不为零，则A有如下惟一的分解形式：A=LDL ^ T。
• 其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆零），L^T为L的转置矩阵。
• LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进，因为Cholesky分解法虽然不需要选主元，但其运算过程中涉及到开方问题，而LDLT分解法则避免了这一问题，可用于求解线性方程组。
  设有一线性方程组Ax=b，
  应用LDL^T 分解法：A=LU=LDL ^T，即LDL ^Tx=b，
  令DL^Tx=y，即Ly=b
  则求解线性方程组Ax=b实际上就分解为了两个步骤：
  1.由Ly=b求得y；
  2.再由DL^Tx=y（或L ^Tx=D ^ (-1)y求得x。

实对称(半)正定矩阵

• 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X’AX>0，则称A为正定矩阵，称X’AX为正定二次型。
• 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X’AX≥0，则称A为半正定矩阵，称X’AX为半正定二次型。
• 对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
  （1）A是正定矩阵；
  （2）A的一切顺序主子式均为正；
  （3）A的一切主子式均为正；
  （4）A的特征值均为正；
  （5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
  （6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
  （7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R

顺序主子式

• 顺序主子式是取n阶方阵的部分元素化为行列式形式。
• 方阵的第k阶行列式是由该方阵的前k行和k列元素组成。
• 对于n阶方阵A，其共有n阶顺序主子式。通过计算方阵A的所有顺序主子式，可以来判断一个实二次型是否正定或方阵A是否为正定矩阵，也可以判断方阵A是否可以进行唯一LU分解。

泰勒展开式

f(x)在x=a处的泰勒展开式常用公式是f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’'(a)/2！(x-a)^ 2+……+f(n)(a)/n！*(x-a)^n。