1、关系的基本概念
关系是笛卡尔积的子集->关系是以序偶为元素的集合
2、关系的性质
设R为集合A上的关系，则：
| 性质 |
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关系矩阵 |
关系图 |
| 自反 |
任意X属于A,XRX |
I_A 属于 R |
关系矩阵主对角线元素全是1 |
关系图所有点都有的自环 |
| 反自反 |
任意X,Y属于A,XRY=>X!=Y |
I_A∩R=空 |
关系矩阵主对角线元素全是0 |
关系图所有点都没有自环 |
| 对称 |
任意X,Y属于A,XRY=>YRX |
R=R^T |
关系矩阵所有关于主对角线对称位置元素值相同 |
关系图有A->B一定有B->A |
| 反对称 |
任意X,Y属于A,XRY&&YRX=>X=Y |
R∩R^T 属于ＩA |
关系矩阵所有关于主对角线对称位置的元素不同时为1 |
关系图若有A->B一定没B->A |
| 可传递 |
任意X,Y,Z属于A,XRY&&YRZ=>XRZ |
R=R·R |
略 |
略 |
| 对称且反对称 |
任意I,j,(I,j) = (j,i) = 0 |
| 不对称且不反对称 |
任意<(I,j),(j,i)>取遍<0,0><0,1><1,0><1,1> |
| 不自反且不反自反 |
主对角线有0有1 |
3、关系的运算
继承了集合的运算（交并补差etc.)也有自己的运算（求逆运算R^-1，复合运算R·T,闭包运算）
| 关系的并运算（继承自集合） |
矩阵表示 |
R∪S= MR ∨Ms |
直接对应位置取∪ |
| 关系的复合运算 |
矩阵表示 |
R◦S= MR ÙMS |
按照矩阵乘法，加法处取∪，乘法处取∩ |
| 关系的求逆运算 |
矩阵表示 |
R^－1=(MR)T |
逆关系的关系矩阵是原关系关系矩阵的转置 |
4、特殊の关系
设R为A上的关系
| 等价关系 |
自反 && 对称 && 可传递 |
确定集合的划分 |
商集A/R |
A/R = { [a1]_R, [a2]_R,…} |
| 相容关系 |
自反 && 对称 && 蕴含可传递 |
确定覆盖 |
最大相容类 |
最大完全多边形（n个顶点的完全图）
注意：
一个相容关系的最大相容类不唯一；
一个顶点可以出现在两个最大相容类里面（如右图） |
| 偏序关系 |
自反 && 反对称 && 可传递 |
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哈斯图 |
哈斯图是一条链：全序关系； A上每个元素都有一个最小元：良序关系； ——每一个有限全序集都是良序集 上界下界上确界下确界什么的都是元素不是集合！ |
| 拟序关系 |
反自反&&蕴含反对称&&可传递 |
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|A| = N,则A上的二元关系有2^(N*N)种
| 函数关系 |
任意x属于X,总存在y属于Y使得f(x) == y |
这里X称为 f 的定义域，Y 称为f的陪域，f的值域ranf是Y 的子集 |
| 单射函数关系 |
f(x1) == f(x2) => x1 == x2 |
|X| = m, |Y| = n, 若m >= n,则存在X 到Y单射个数为：C(m,n)*m! |
| 满射函数关系 |
Ranf == Y,即值域与陪域相等 |
|X| = m, |Y| = n, 若m <= n,则存在X到Y满射个数为：C(n,0) * (n^m) - C(n,1)*((n-1)^m)+…+C(n,n-1)*(1^m) (暴力容斥) |
| 内射函数关系 |
Ranf是Y的真子集 |
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