【图论·习题】走廊泼水节（Kruscal算法逆推）

Problem

Description

我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的…)。

但是OIER们为了迎接中中的挑战，决定修建一些道路(至于怎么修，秘密_{),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗})。

但是OIER们很懒，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

Input Format

本题为多组数据~

第一行t，表示有t组测试数据

对于每组数据

第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；

2到N行，每行三个整数X,Y,Z，表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道。

Output Format

对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

题解

按照 $Kruscal$ 算法的流程，对于在这个生成树中边权最小的一条边，一定是最先相连的。

因此我们将所有的生成树上的边权进行从小到大的排序，对于当前边 $e(x,y,v)$ 中：

在 $kruscal$ 中，一定将 $x$ 和 $y$ 相连，将其所属集合都合并，如果我们需要这一棵最小生成树成立且唯一， $x$ 和 $y$ 所对应的两个集合任意两点(除了边 $e$ )所相连的边权一定大于v;由于要求最小值，则边权为 $v+1$ 。

若x和y对应集合的大小分别是 $sum[i]和sum[j]$ ，则边e对答案的贡献是： $(v+1)*(sum[x]*sum[y]-1)$

然后就边做边用并查集维护即可，注意常见坑点longlong。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long

LL fa[50000];
LL sum[50000];

struct edge {
	LL x,y,v; 
}e[50000];

bool cmp (edge p1,edge p2) {
	return p1.v<p2.v;
}

LL get(LL x)
{
	if (fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=get(fa[x]); 
} 
void work()
{
	LL n,ans=0,tot=0;
	memset(e,0,sizeof(e));
	scanf("%lld",&n);
	for (LL i=1,x,y,v;i<n;++i)
	{
		scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&v);
		e[++tot]=edge{x,y,v};
	}
	sort(e+1,e+tot+1,cmp);
	for (LL i=1;i<=n;++i) 
	    fa[i]=i,sum[i]=1;
	for (LL i=1;i<=tot;++i)
	{
		LL x=get(e[i].x);
		LL y=get(e[i].y);
		if (x==y) continue;
		ans+=(e[i].v+1)*(sum[x]*sum[y]-1);
		fa[x]=y;
		LL sx=sum[x],sy=sum[y];
		sum[x]+=sy,sum[y]+=sx;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return;
}
int main(void)
{
	freopen("data.in","r",stdin);
	freopen("data.out","w",stdout);
	LL T;
	scanf("%lld",&T);
	while (T--) work();
	return 0;
}

【图论·习题】走廊泼水节（Kruscal算法逆推）

Problem

题解

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