前言
学SVM看到对偶问题的时候很难受，因为看不懂，数学知识真的太重要了。后来在B站看到某up主的精彩推导，故总结如下。
SVM基本型
由之前最大化间隔的计算可得SVM的基本型为：
$\underset{\mathbf{w},b}{min}\ \ \ \ \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w}\right \|^{2}$
$s.t. \ y_{i}(\mathbf{w}^{T}\mathbf{x}_{i})+b\geqslant 1,\ \ \ \ i=1,2,\cdots ,m.$
对偶问题
现在将上式转化为其对偶问题，通过求解对偶问题来得到原始问题的解。
根据拉格朗日乘子法，对上式的每条约束添加拉格朗日乘子$\lambda _{i} \geqslant 0$，于是该问题的拉格朗日函数可写为：
$L(\mathbf{w},b,\lambda ) = \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^{2}+\sum_{i=1}^{m}\lambda _{i}(1-y_{i}(\mathbf{w}^{T}\mathbf{x}_{i}+b))$ $\mathbf{\lambda }=(\lambda _{1};\lambda _{2};\cdots ;\lambda _{m})$
由此得到了重要的第一步，将带约束的原问题转化为了无约束的原问题，即：
$\underset{\mathbf{w},b}{min}\ \ \ \ \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w}\right \|^{2}$ -------------------> $ \underset{\mathbf{w},b}{min}\ \underset{\mathbf{\lambda }}{max}\ L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda})$
$s.t. \ y_{i}(\mathbf{w}^{T}\mathbf{x}_{i})+b\geqslant 1,\ \ \ \ i=1,2,\cdots ,m.$ -------------------> $s.t.\ \ \lambda _{i}\geqslant 0$
为什么这两种是等价的呢？从逻辑上可以简单分析：
接下来第二步转化就是将无约束的原问题转化为对偶问题，即：
$ \underset{\mathbf{w},b}{min}\ \underset{\mathbf{\lambda }}{max}\ L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda})$ -------------------> $ \underset{\mathbf{\lambda }}{max}\ \underset{\mathbf{w},b}{min}\ L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda})$
$s.t.\ \ \lambda _{i}\geqslant 0$ -------------------> $s.t.\ \ \lambda _{i}\geqslant 0$
在二次凸优化的条件下，这两者就是强对偶关系，是等价的。
综上，这一系列的步骤就是SVM基本型（带约束的原问题）——>不带约束的原问题——>对偶问题。
对于这个对偶问题，我们首先固定$\lambda$，求解$w,b$，由于$w,b$不受约束，所以这是无约束的优化问题，直接求导即可。这里需要说明的一点就是因为这是凸函数，二阶导数必然大于0，所以令偏导为零的点就是最小值点。计算过程如下所示：
消去$\mathbf{w}，b$后得到对偶问题：
$\underset{\mathbf{\lambda }}{max}\ \ \sum_{i=1}^{m} \lambda _{i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda _{i}\lambda _{j}y_{i}y_{j}\mathbf{x}_{i}^{T}\mathbf{x}_{j}$
$s.t.\ \ \lambda _{i}\geqslant 0$