机器学习------支持向量机（Support Vector Machine, SVM）

取自周志华的西瓜书

1. 间隔与支持向量

　　给定训练样本集$D={(x_1, y_1), (x_2, y_2),……, (x_m, y_m)}, y_i\in{\{-1, +1\}}$，分类学习最基本的想法就是基于数据集D在样本空间中找到一个划分超平面，将不同类别的样本分开。但能将训练样本分开的划分超平面可能有很多，如图1所示，我们应该努力去找到哪一个呢？
　　
　　直观上看，应该去找位于两类训练样本“正中间”的划分超平面，即图1中加粗的那个，因为该划分超平面对训练样本局部扰动的“容忍”性最好。例如，由于训练集的局限性或者噪声的因素，训练集外的样本可能比图1中的训练样本更接近两个类的分隔界，这将使很多划分超平面出现错误，而加粗的超平面影响最小。换言之，这个划分超平面所产生的分类结果是最鲁棒的，对未见示例的泛化能力更强。
　　在样本空间中，划分超平面可通过如下线性方程来描述：
　　　

$$w^Tx+b=0 　　　　　　　　(1)$$
　
　　其中 $w=(w_1; w_2; ……; w_d)$为法向量，决定了超平面的方向； $b$为位移项，决定了超平面与原点之间的距离。显然，划分超平面可被法向量 $w$和位移 $b$确定，下面将其记为 $(w, b)$。样本空间中任意点到 $(w, b)$的距离可写为
　　 $$r=\frac{|w^Tx+b|}{||w||} 　　　　　　　　(2)$$
　　假设超平面 $(w, b)$能将训练样本正确分类，即对于 $(x_i, y_i)\in{D}$，若 $y_i=+1$，则有 $w^Tx_i+b>0$；若 $y_i=-1$，则有 $w^Tx_i+b<0$。令
　　 　　　　　　　　　　（3）
　　公式（3）称为最大间隔假设， $y_i=+1$表示样本为正样本， $y_i=-1$表示样本为负样本，式子前面选择大于等于+1，小于等于-1只是为了计算方便，原则上可以为任意常数，但无论是多少，都可以通过对 $w$的变换使其为+1和-1，此时将公式（3）左右乘以 $y_i$，得到如下
　　
　　实际上等价于： $y_i(w^Tx_i+b)\geq1$，训练集中的所有样本都应该满足此公式。
　　如图2所示，距离超平面最近的这几个样本点使公式（3）的等号成立，它们被称为“支持向量”（support vector），两个异类支持向量到超平面距离之和为
　　 $$\gamma=\frac{2}{||w||} 　　　　　　　　(4)$$
　　它被称为“间隔”（margin）。
　　欲找到具有“最大间隔”（maximum margin）的划分超平面，也就是要找到能满足公式（3）中约束的参数 $w$和 $b$，使得 $\gamma$最大，即
　　 $$\displaystyle \max_{w,b}\frac{2}{||w||} 　　　　　　　　(5)$$
　

$s.t.　y_i(w^Tx_i+b)\geq1，i=1,2,…,m.$
　 显然，为了最大化间隔，仅需要最大化 $||w||^{-1}$，这等价于最小化 $||w||^{2}$。于是，公式（5）可重写为
　 $$\displaystyle \min_{w,b}||w||^2　　　　　　　　(6)$$
　 $s.t.　y_i(w^Tx_i+b)\geq1，i=1,2,…,m.$
　 这就是支持向量机（Support Vector Machine, 简称SVM）的基本型。

2. 对偶问题

　　未完待续……