多项式求逆与多项式除法/取模

多项式求逆

Procedure

多项式求逆是多项式模块中的一个重要操作（“操作”这个词看出如今多项式题是多么的工业化，犹如毒瘤8操作LCT）,在做生成函数/多项式除法、多项式取模/多项式多点求值等中均有应用

对于一个n次多项式 $F(x)$ ，我们希望求出一个m-1次多项式 $G(x)$ ，满足 $F(x)G(x)\equiv 1\pmod {x^m}$
也就是说， $G(x)$ 为 $F(x)$ 在模 $x^m$ 意义下的逆（即 $x^m$ 以后的项我们都不管了，前面的项乘起来只有常数项系数为1，其他系数都是0）

多项式求逆运用了倍增的思想
假设我们已经求出了 $B(x),B(x)F(x)\equiv 1\pmod {x^{m\over 2}}$
考虑如何求 $G(x)$

移项
$B(x)F(x)-1\equiv 0\pmod {x^{m\over 2}}$
此时意味着 $B(x)F(x)-1$ 的0 ~ m/2-1次项的系数全都是0，那么将同余式两边平方，就变成0 ~ m-1次项的系数都为0
因此
$\left(B(x)F(x)-1\right)^2\equiv 0 \pmod {x^m}$
展开
$F^2(x)B^2(x)-2F(x)B(x)+1\equiv 0\pmod {x^m}$
提一个 $F(x)$ 出来
$F(x)\left(F(x)B^2(x)-2B(x)\right)\equiv -1\pmod {x^m}$

此时容易看出 $G(x)\equiv 2B(x)-F(x)B^2(x) \pmod {x^m}$
这样就求出了 $F(x)$ 模 $x^m$ 意义下的乘法逆元
我们从m=1开始做，此时直接求常数项的乘法逆元即可，
然后可以推出m=2,4,8,16…
这样一直倍增下去，直到m>=我们所需要的次数，此时直接取前面我们需要的项，后面多出来的直接设为0即可（模掉了没有影响）

注意，由于我们求 $G(x)$ 是在模 $x^m$ 意义下进行的，而不是 $x^{m\over 2}$ ，因此即使 $B(x)$ 的次数为m/2-1，此时的 $F(x)$ 的次数仍然要取m-1

分析时间复杂度
$T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n)$ （常数相当大）

Code

void make(int l,LL *a,LL *b)//l为我们需要的次数，a为待求逆多项式，用b来存储结果
{
	b[0]=ksm(a[0],mo-2);//求常数项逆元
	for(int m=1,t=2,num=4,cnt=2;m<l;m=t,t=num,num<<=1,cnt++)
	//由于乘法有平方操作，因此NTT的范围需要开到2倍。
	//t为当前的模数次数,m=t/2
	{
		prp(num,cnt);//预处理单位根、反位等
		fo(i,0,m-1) c[i]=a[i],d[i]=b[i];
		fo(i,m,t-1) c[i]=a[i];
		fo(i,t,num-1) c[i]=0;
		NTT(c,0,num),NTT(b,0,num);
		fo(i,0,num-1) b[i]=b[i]*b[i]%mo*c[i]%mo;
		NTT(b,1,num);
		fo(i,0,t-1) b[i]=((LL)2*d[i]-b[i]+mo)%mo;
		fo(i,t,num-1) b[i]=0;
	}		
}

多项式除法（多项式取模）

Procedure

多项式除法/取模也是多项式模块中的一个重要操作，在做生成函数/多项式多点求值等中均有应用。。。
对于一个n次多项式 $F(x)$ ，m次多项式 $G(x)$ (n>=m)，我们希望求出一个n-m次多项式 $H(x)$ ，一个至多m-1次的多项式 $R(x)$ ，满足 $F(x)=G(x)H(x)+R(x)$ ，并且 $R(x)$ 小于 $G(x)$

当 $R(x)\equiv 0\pmod {x^{n-m+1}}$ 时，我们就可以直接对 $G(x)$ 求逆了
接下来的方法就比较高妙了：

我们引入多项式的反转操作，即将多项式的系数倒转过来
形式化的，对于n次多项式 $F(x)$ ，反转之后就是 $x^nF\left({1\over x}\right)$

对于上面的等式反转
$x^nF\left({1\over x}\right)=x^n(G\left({1\over x}\right)H\left({1\over x}\right)+R\left({1\over x}\right))$

此时相当于将x替换成1/x，等式仍然成立
右边分配x^n
$x^nF\left({1\over x}\right)=x^mG\left({1\over x}\right)x^{n-m}H\left({1\over x}\right)+x^nR\left({1\over x}\right)$

观察各个多项式指数范围的变化。
$F(x)$ 原本的指数范围为 $[0,n]$ ，现在仍然是 $[0,n]$
$G(x)$ 原本的指数范围为 $[0,m]$ ，现在仍然是 $[0,m]$
$H(x)$ 原本的指数范围为 $[0,n-m]$ ，现在仍然是 $[0,n-m]$
但余式有变化：
$R(x)$ 原本的指数范围为 $[0,m-1]$ ，现在变成了 $[n-m+1,n]$

这下好了，如果我们对于等式两边同时模一个 $x^{n-m+1}$ …
$F(x),G(x)$ 保留次数小于等于n-m的项， $H(x)$ 不变， $R(x)$ 没了！
即
$x^nF\left({1\over x}\right)\equiv x^mG\left({1\over x}\right)x^{n-m}H\left({1\over x}\right)\pmod {x^{n-m+1}}$

此时只需要对于 $G(1/x)$ 求出模意义下的逆，乘一下就得到 $H(1/x)$ ，反转回来就是 $H(x)$

$H(x)$ 带回原来的式子，一减就可以得出 $R(x)$

分析时间复杂度
NTT、多项式求逆的复杂度均为 $O(n\log n)$
因此总的复杂度 $O(n\log n)$
常数更大了…

Code

void rev(int num,LL *a,LL *b)//反转操作
{
    fo(i,0,num-1) b[i]=a[num-i-1];
}
void div(LL *a,LL *b,LL *d,LL *r)
{
    rev(m+1,b,r);
    make(n-m+1,r,d);//求出除数的逆
    int num=cf[l2[n]]*2;
    prp(num);
    fo(i,0,n) f[i]=a[n-i];
    fo(i,n-m+1,num-1) f[i]=0,d[i]=0;
    NTT(f,0,num),NTT(d,0,num);
    fo(i,0,num-1) d[i]=d[i]*f[i]%mo;
    NTT(d,1,num);
    fo(i,n-m+1,num-1) d[i]=0;
    fo(i,0,(n-m)>>1) swap(d[i],d[n-m-i]);//反转回来，得到商
    fo(i,0,num-1) r[i]=d[i],f[i]=b[i];
    num=cf[l2[n+1]];
    prp(num);
    NTT(f,0,num),NTT(r,0,num);
    fo(i,0,num-1) r[i]=r[i]*f[i]%mo;
    NTT(r,1,num);
    fo(i,0,num-1) r[i]=(a[i]-r[i]+mo)%mo;//得到余式
}