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问题描述
设有n种物品，记作A1、A2、…、An，对应于每个Ai（1<=i<=n）都有一个重量Awi和价值Avi（重量和价值都为正整数）。另外，对应于每个Ai，都有一件可代替它的“代用品”Bi，Bi的重量和价值分别为Bwi和Bvi。
本题的任务是：选择这n件物品或其代用品的一个子集装进背包，使总重量不超过给定重量TOT，同时使总价值VAL最高。装填的第I步，要么装入Ai，要么装入Bi，要么Ai和Bi都不装。
输入描述
第一行：n TOT ，n<=100, TOT<=10000
第二行：AW1 A v1 B W1 Bv1
第三行：AW2 A v2 B W2 Bv2
……
第n+1行：AWn A vn B Wn Bvn
输出描述
只有一个数为最大的价值
样例输入
4 20
8 20 12 31
2 3 9 20
13 31 11 12
8 9 13 36
样例输出
40
问题分析
看到这种问题，第一反应使用动态规划。该问题和我之前的博客(装箱问题)特别相似，唯一不同在于本题中添加了代用品这个概念。因此在书写动态规划时，我们需要判断是否之前已经添加了原物品。我的做法是将原物品和代用品交替判断，这样只需要在判断代用品时不和上一列(包含原物品)进行比较即可。例如用a[max][n]表示最大重量为max时前n个物品的最大价值。那么当n为奇数时直接和n-1进行比较，但是当n为偶数时，就需要和n-2比较，跳过原物品那一列。
源码
public static void main(String[] args)
{
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n , max;
n = in.nextInt();
max = in.nextInt();
int aPrice[] = new int[n+1];
int aValue[] = new int[n+1];
int bPrice[] = new int[n+1];
int bValue[] = new int[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
aPrice[i] = in.nextInt();
aValue[i] = in.nextInt();
bPrice[i] = in.nextInt();
bValue[i] = in.nextInt();
}
int a[][] = new int[max+1][2*n+1];
for(int i=1;i<=2*n;i++)
{
// 原物品
if(i%2 == 1)
a[1][i] = 1>=aPrice[(i+1)/2]?aValue[(i+1)/2]:0;
// 代用品
else
a[1][i] = 1>=bPrice[i/2]?bValue[i/2]:0;
}
for(int i=1;i<=max;i++)
{
a[i][1] = i>=aPrice[1]?aValue[1]:0;
}
for(int i=2;i<=max;i++)
{
for(int j=2;j<=2*n;j++)
{
a[i][j] = a[i-1][j]>a[i][j-1]?a[i-1][j]:a[i][j-1];
// 使用原物品时只需要和上一列判断，即没有这个新的a物品时
if(j%2 == 1)
{
if(i >= aPrice[(j+1)/2])
a[i][j] = a[i-aPrice[(j+1)/2]][j-1]+aValue[(j+1)/2]>a[i][j]?a[i-aPrice[(j+1)/2]][j-1]+aValue[(j+1)/2]:a[i][j];
}
// 使用代用品时需要和上上一列判断，即上一个代用品出现的情况
else
{
if(i >= bPrice[j/2])
a[i][j] = a[i-bPrice[j/2]][j-2]+bValue[j/2]>a[i][j]?a[i-bPrice[j/2]][j-2]+bValue[j/2]:a[i][j];
}
}
}
System.out.println(a[max][2*n]);
}