【学习笔记】常系数线性齐次递推

应用(LGP4723)

求一个满足$k$阶线性齐次递推数列$a_i$的第$n$项；

及：$a_n \ = \ \sum_{i=1}^{k} f_i \times a_{n-i}$ ;

$N \le 10^9 , K \le 32000 $ ；

矩阵

矩阵的秩$rk(A)$：
- $rk(A) = 0 \ \Leftrightarrow \ A=0$ ;
- $rk(A+B) \le rk(A) + rk(B)$ ;
- $rk(AB) \le min(rk(A),rk(B))$ ;
行列式按行展开：
- $det(A) \ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}A_{i,j}$
- $A_{i,j}$为行列式的余子式；
- 利用行列式的分拆性质可以证明；

特征多项式

对于$n$阶方阵$A$；
若存在列向量$x$和常数$\lambda$ ，满足 $\lambda \vec{v} = A \ \vec{v}$;
则称$x$为$A$的特征向量;
若$k = rk(A)$，则存在$k$个线性无关的$x$；
变换形式：$(\lambda I - A) \vec{v} = 0$ ;
有解的充要条件是$det(\lambda I - A) = 0$;
所以可以得到一个关于 $ \lambda $ 的 $ n $ 阶方程 $ F(\lambda)=0 $ ， $ F(x) $ 称为 $ A $ 的特征多项式；
Cayley-Hamilton定理
矩阵的特征多项式为矩阵的零化多项式：$F(A) =0$ ；
证明：https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78688235 ；

线性递推

设递推数列 $a_{0} - a_{k-1}$ 的初始列向量为$G$(下标从下到上)，$A$为$k$阶递推矩阵，实际上就是要求$[A^nG]_{k,1}$ ；
考虑如何求$A^n$，注意到$F(A)=0$；
设$A^n = P(A) F(A)+ Q(A)$;
那么相当于$A^n$减去了很多个0矩阵，$Q(A)$和它意义相同，只需要算多项式$Q(A)$即可；
这部分可以快速幂+多项式取模完成，复杂度$O(k log \ k log \ m)$或者$k ^ 2 log n $；
考虑如何求$A$的特征多项式，利用定义$det(\lambda I - A) $的形式为:
\[ \begin{pmatrix} \lambda - f_{1} & -f_2 & -f_3 & \cdots & f_{k-1} & f_{k} \\ -1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda \\ \end{pmatrix}* \]
按第一行展开，会剩下一个下三角行列式，值为对角线乘积；
得$F(\lambda) = \lambda^k - \sum_{i=1}^{k}f_i \lambda^{k-i} $ ;
\[ g_{n} = [A^n G]_{k,1} = \sum_{i=0}^{k-1}[Q_{i} A^i \times G]_{k,1} =\sum_{i=0}^{k-1}Q_{i}[A^{i}G]_{k,1} = \sum_{i=0}^{k-1}Q_{i} a_{i} \]

总复杂度就是求$Q$的复杂度，另外如果前$k$项没有给出的话似乎可以利用生成函数求；

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353 
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,k,m,f[N],h[N],a[N],b[N],ib[N];
char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();}
    return x*f;
}
int pw(int x,int y){
    int re=1;
    if(y<0)y+=mod-1;
    while(y){
        if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
        y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
    }
    return re;
}
void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
namespace poly{
    const int G=3;
    int rev[N],L;
    void ntt(int*A,int len,int f){
        for(L=0;(1<<L)<len;++L);
        for(int i=0;i<len;++i){
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
            if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
        }
        for(int i=1;i<len;i<<=1){
            int wn=pw(G,f*(mod-1)/(i<<1));
            for(int j=0;j<len;j+=i<<1){
                int w=1;
                for(int k=0;k<i;++k,w=(ll)w*wn%mod){
                    int x=A[j+k],y=(ll)w*A[j+k+i]%mod;
                    A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
                }
            }
        }
        if(!~f){
            int iv=pw(len,mod-2);
            for(int i=0;i<len;++i)A[i]=(ll)A[i]*iv%mod;
        }
    }
    void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=0;}
    void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=0;i<l;++i)A[i]=B[i];}
    void inv(int*A,int*B,int l){
        if(l==1){B[0]=pw(A[0],mod-2);return;}
        static int t[N];
        int len=l<<1;
        inv(A,B,l>>1);
        cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
        ntt(t,len,1);ntt(B,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)B[i]=(ll)B[i]*(2-(ll)t[i]*B[i]%mod+mod)%mod;
        ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
    }
    void pmod(int*A){
        static int t[N];
        int l=k+1,len=1;while(len<=(k<<1))len<<=1;
        cpy(t,A,(k<<1)+1);
        reverse(t,t+(k<<1)+1);
        cls(t,l,len);
        ntt(t,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)t[i]=(ll)t[i]*ib[i]%mod;
        ntt(t,len,-1);
        cls(t,l,len);
        reverse(t,t+l);
        ntt(t,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)t[i]=(ll)t[i]*b[i]%mod;
        ntt(t,len,-1);
        cls(t,l,len);
        for(int i=0;i<k;++i)A[i]=(A[i]-t[i]+mod)%mod;
        cls(A,k,len);
    }
    void pow(int*A,int n){
        if(n==1){cls(A,0,k+1);A[1]=1;return;}
        pow(A,n>>1);
        int len=1;while(len<=(k<<1))len<<=1;
        ntt(A,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)A[i]=(ll)A[i]*A[i]%mod;
        ntt(A,len,-1);
        pmod(A);
        if(n&1){
            for(int i=k;i;--i)A[i]=A[i-1];A[0]=0;
            pmod(A);
        }
    }
}
int main(){
//    freopen("P4723.in","r",stdin);
//    freopen("P4723.out","w",stdout);
    n=rd();k=rd();
    for(int i=1;i<=k;++i)f[i]=(mod+rd())%mod;
    for(int i=0;i<k;++i)h[i]=(mod+rd())%mod;
    for(int i=a[k]=b[k]=1;i<=k;++i)a[k-i]=b[k-i]=(mod-f[i])%mod;
    int len=1;while(len<=(k<<1))len<<=1;
    reverse(a,a+k+1);
    poly::inv(a,ib,len);
    poly::cls(ib,k+1,len);
    /*{
        for(int i=0;i<len;++i)printf("%d ",b[i]);puts("");
        for(int i=0;i<len;++i)printf("%d ",ib[i]);puts("");
    }*/
    poly::ntt(b,len,1);
    poly::ntt(ib,len,1);
    poly::pow(a,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<k;++i)inc(ans,(ll)a[i]*h[i]%mod);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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