五校联考 running （欧拉函数）

题面

$solution:$

讲真吧，这道题真的出得，嗯，太恐怖了。考场上这道题真的把我看懵了，这道题以前是见过的，但欧拉函数？我学过吗？一道容斥都要超时的题目，我都要为我自己点根香了，拿着gcd一顿乱搞，果然搞出了个0分。不得不承认博主的数学真的太渣了，但这道题的解题思路真的太妙了（因为渣所以必须学习！）。

首先，一个必须要知道的东西，操场是环形的（即 $（mod$ $n）$ 意义下的）。若第$k$个格子可以被第$i$个同学踩到，那么必定存在一个$x$ 使$x*a_i$ 在$（mod$ $n）$之后等于$k$ ！而这也就相当于：存在一对 $x$ 和 $y$ 使得 $x*a_i-y*n=k$

而这也就牵扯到我们整除的一些性质了，要满足上面这个式子有整数解，充要条件是 $(a_i,n)|k$ 也就是说所有能被$(a_i,n)$ 整除的格子都可以被第$i$位同学踩到！！！可是这样的话，有可能一个格子会被多个同学踩到，我们怎么去重呢？

我们发现产生重复的原因是我们的充要条件即 $(a_i,n)|k （i\in m）$ ，有可能存在多个$i $能使条件成立，并存在多个$i$使它们的$(a_i,n)$ 存在公因数，然后我们考虑如何让重复的情况只出现一次：就是枚举$n$的约数（把$(a_i,n)$所有可能的值枚举一遍），枚举并判断它是否有贡献之后我们不算存在多少$k$可以整除它，我们只算有多少$(k,n)$能等于它。（因为我们枚举的$n$的约数会包括它的倍数，当下我们只算好它的贡献！）

我们把枚举的约数定为$d$，那我们就只要求有多少个$k$，使$(k,n)=d$，也就是求有多少个$k$，使$(\frac{k}{d} ,\frac{n}{d})=1$也就是求欧拉函数了。

$code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int

using namespace std;

int n,m,top,ans;
int a[55];
int b[100005];

inline int qr(){
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    int res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+(ch^48);
    return res;
}

inline int gcd(int x,int y){
    if(!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}

inline int phi(int x){//单独求欧拉函数
    int y=x;
    for(rg i=2;i<=top&&x>1;++i){
        if(!(x%b[i]))y=y/b[i]*(b[i]-1);
        while(!(x%b[i]))x/=b[i];
    }return y;
}

int main(){
    //freopen("running.in","r",stdin);
    //freopen("running.out","w",stdout);
    ans=n=qr(),m=qr();
    for(rg i=1;i<=m;++i)a[i]=qr();
    for(rg i=1;i<=sqrt(n);++i)
        if(n%i==0)b[++top]=i,b[++top]=n/i;//枚举所有约数
    sort(b+1,b+top+1);
    for(rg i,k=1;k<=top;++k){
        i=b[k];
        for(rg j=1;j<=m;++j)
            if(i%gcd(a[j],n)==0)//如果这个约数有贡献（即存在一个人使得(ai,n)|k）
                {ans-=phi(n/i);break;}
    } printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

五校联考 running （欧拉函数）

题面

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\(code:\)

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