不等式约束的优化问题求解
与前文讨论的只含等式约束的优化问题求解类似,含不等式约束的优化问题同样可以用拉格朗日乘子法进行求解
对于一般形式的优化问题:
minimizef(x)subject toh(x)=0g(x)≤0
其中,
f:Rn→R,h:Rn→Rm,m≤n,g:Rn→Rp
引入下面两个定义:
定义1:对于一个不等式约束
gj(x)≤0
,如果在
x∗
处
gj(x∗)=0
,那么称该不等式约束是
x∗
处的起作用约束;如果在
x∗
处
gj(x∗)<0
,那么称该约束是
x∗
处的不起作用约束。按照惯例,总是把等式约束
hi(x)
当作起作用的约束
定义2:设
x∗
满足
h(x∗)=0,g(x∗)≤0
,设
J(x∗)
为起作用不等式约束的下标集:
J(x∗)≜{j:gj(x∗)=0}
如果向量
∇hi(x∗),∇gj(x∗),1≤i≤m,j∈J(x∗)
是线性无关的,那么称
x∗
是一个正则点
下面介绍某个点是局部极小点所满足的一阶必要条件,即KKT条件。
KKT条件:设
f,h,g∈C1
,设
x∗
是问题
h(x)=0,g(x)≤0
的一个正则点和局部极小点,那么必然存在
λ∗∈Rm
和
μ∗∈Rp
,使得以下条件成立:
μ∗≥0Df(x∗)+λ∗TDh(x∗)+μ∗TDg(x∗)=0Tμ∗Tg(x∗)=0h(x∗)=0g(x∗)≤0
那么在求解不等式约束的最优化问题的时候,可以搜索满足KKT条件的点,并将这些点作为极小点的候选对象。
二阶充分必要条件
除了一阶的KKT条件之外,求解这类问题还有二阶的充分必要条件。
二阶必要条件:在上述的问题中若
x∗
是极小点且
f,h,g∈C2
。假设
x∗
是正则点,那么存在
λ∗∈Rm
和
μ∗∈Rp
使得
-
μ∗≥0,Df(x∗)+λ∗TDh(x∗)+μ∗TDg(x∗)=0T,μ∗Tg(x∗)=0
- 对于所有
y∈T(x∗)
,都有
yTL(x∗,λ∗,μ∗)y≥0
成立
二阶充分条件:假定
f,h,g∈C2
,
x∗∈Rn
是一个可行点,存在向量
λ∗∈Rm
和
μ∗∈Rp
使得
-
μ∗≥0,Df(x∗)+λ∗TDh(x∗)+μ∗TDg(x∗)=0T,μ∗Tg(x∗)=0
- 对于所有
y∈T˜(x∗,μ∗),y≠0
,都有
yTL(x∗,λ∗,μ∗)y>0
成立
那么
x∗
是优化问题
h(x)=0,g(x)≤0
的严格局部极小点