凸优化第二章凸集 2.6对偶锥与广义不等式

2.6对偶锥与广义不等式

1. 对偶锥
2. 广义不等式的对偶
3. 对偶不等式定义的最小元和极小元

对偶锥

锥K的对偶锥是集合

如上图左图的y是K的对偶锥的一个元素，右图z不是K的对偶锥的元素，几何上看当且仅当-y是K在原点的一个支撑超平面的法向量。

广义不等式的对偶

如果K是正常锥，则K可导出一个广义不等式，并且K的对偶也是正常锥，其对偶也可以导出一个广义不等式。

定义：广义不等式为广义不等式的对偶。

对偶不等式定义的最小元和极小元

x是集合S上关于广义不等式的最小元的充要条件是，，x是在上极小化的唯一最优解。

几何上意味着，，超平面是S在x处的一个严格支撑超平面（即这个超平面至于S相交于x一个点，换句话说，，超平面都只与S相交于点x。）。

x是集合S上关于广义不等式的极小元的充要条件是，对于一些，x是在上极小化。

类似于最小元的几何意义，极小元就是对于某些，超平面与S相交于该极小元。

如上图是极小化的解，是极小化的解。