凸优化第三章凸函数 3.6关于广义不等式的凸性

其他 2019-01-30 20:01:07 阅读次数: 0

3.6关于广义不等式的凸性

定义

设 $K\subseteq R^m$ 是一个正常锥，对应的广义不等式 $\preceq _K$ ，函数 $f:R^n\rightarrow R^m$ 是K-凸的，如果 $\forall x,y,\forall \theta \in[0,1],f(\theta x+(1-\theta)y)\preceq _K \theta f(x)+(1-\theta )f(y)$

矩阵凸性

设函数f是对称矩阵值函数，即 $f:R^n\rightarrow S^m$ ，称函数f关于矩阵的不等式是凸的如果 $\forall x,y,\forall \theta \in [0,1],f(\theta x+(1-\theta)y)\preceq \theta f(x)+(1-\theta)f(y)$ ，这种凸性为矩阵凸性。

其等价的定义是对任意的向量z，标量函数 $z^Tf(x)z$ 都是凸函数。

例子

函数 $f:S^m\rightarrow S^m,f(X)=X^2$ 是 $S_{+}^{m}$ 凸的

证明：

$\forall z\in R^m,z^Tf(X)z=z^TX^2z=z^TX^TXz=(Xz)^T(Xz)=\left \| Xz \right \|_2^2$

现证 $z^Tf(X)z=z^TX^2z=z^TX^TXz=(Xz)^T(Xz)=\left \| Xz \right \|_2^2$ 的凸性

$\forall x,y\in S^m,\forall \theta \in[0,1]$

$z^Tf(\theta x+(1-\theta)y)z=z^T(\theta x+(1-\theta)y)^2z$

$=z^T(\theta x+(1-\theta)y)^T(\theta x+(1-\theta)y)z$

$=z^T(\theta ^2x^Tx+(1-\theta)^2y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

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$=z^T(\theta ^2x^Tx+\theta x^Tx-\theta x^Tx+(1-\theta)^2y^Ty+(1-\theta)y^Ty-(1-\theta)y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

$=z^T(\theta x^Tx+(1-\theta)y^Ty)z+z^T(\theta ^2x^Tx-\theta x^Tx+(1-\theta)^2y^Ty-(1-\theta)y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

$=\theta z^T(x^Tx)z+(1-\theta)z^T(y^Ty)z+z^T((\theta ^2-\theta)x^Tx+((1-\theta)^2-(1-\theta))y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

$=\theta z^T(x^Tx)z+(1-\theta)z^T(y^Ty)z+z^T(\theta(\theta-1)x^Tx+(1-\theta)(1-\theta-1)y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

$=\theta z^T(x^Tx)z+(1-\theta)z^T(y^Ty)z+z^T(\theta(\theta-1)x^Tx-(1-\theta)\theta y^Ty+2\theta(1-\theta)x^Ty)z$

$=\theta z^T(x^Tx)z+(1-\theta)z^T(y^Ty)z+z^T(\theta(1-\theta)(-x^Tx-y^Ty+2x^Ty))z$

因为 $-x^Tx-y^Ty+2x^Ty\leq 0$ 故上式

$\leq \theta z^T(x^Tx)z+(1-\theta)z^T(y^Ty)z=\theta z^Tf(x)z+(1-\theta)z^Tf(y)z$

所以函数 $f:S^m\rightarrow S^m,f(X)=X^2$ 是 $S_{+}^{m}$ 凸的，所以

$f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta )f(y)$

$(\theta x+(1-\theta)y)^2\leq \theta x^2+(1-\theta )y^2$

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