1. 一元回归
1.1 一元线性回归
[ 例1 ] 近 10 年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表1 商品零售总额与职工工资总额
该问题是典型的一元回归问题，但先要确定是线性还是非线性，然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的 MATLAB 代码如下：
（1）输入数据
%输入数据
clc, clear all, close all
%职工工资总额
x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];
%商品零售总额
y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];
（2）采用最小二乘回归
%作散点图
figure
plot(x,y,'r*')
xlabel('x (职工工资总额)','fontsize',12)%横坐标名
ylabel('y (商品零售总额)','fontsize',12)%纵坐标名
set(gca,'linewidth',2);%线宽为2
%采用最小二乘拟合
Lxx=sum((x-mean(x)).^2);
Lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
b1=Lxy/Lxx;
b0=mean(y)-b1*mean(x);
y1=b1*x+b0;
hold on
plot(x,y1,'linewidth',2);运行本节程序，会得到如图 1 所示的回归图形。在用最小二乘回归之前，先绘制了数据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图1
（3）采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
%采用LinearModel.fit函数进行线性回归
m2=LinearModel.fit(x,y)
运行结果如下：
（4）采用 regress 函数进行回归
Y=y';%Y为列向量
X=[ones(size(x,2),1),x'];%
[b, bint, r, rint, s]=regress(Y,X)运行结果如下：
1.2 一元非线性回归
[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通费率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见表2）。请建立它们关系的数学模型。
表2 销售额与流通费率数据
用非线性回归首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计。
图2 销售额与流通费率之间的关系图
为了得到 x 与 y 之间的关系，先绘制出它们之间的散点图，如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系，为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合，具体实现步骤及每个步骤的结果如下：
（1）输入数据
%输入数据
clc, clear all, close all
x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
%作散点图
plot(x,y,'*','linewidth',2);
set(gca,'linewidth',2);
xlabel('销售额x/万元','fontsize', 12)
ylabel('流通费率y/%', 'fontsize',12)（2）对数形式非线性回归
m1=@(b,x)b(1)+b(2)*log(x);
%m1为函数句柄，@是定义句柄的运算符,b,x为函数参数，b(1)+b(2)*log(x)为函数表达式
nonlinfit1=fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
%Fit nonlinear regression model,
%以列向量y作为响应变量和矩阵X的列作为预测变量来拟合非线性回归模型m1,
%迭代过程从b的初始值为[0.01;0.01开始估计模型系数。
b=nonlinfit1.Coefficients.Estimate;%参数估计
Y1=b(1,1)+b(2,1)*log(x);
hold on
plot(x,Y1,'--k','linewidth',2)运行结果如下：
（3）指数形式非线性回归
%指数形式非线性拟合
m2='y~b1*x^b2';
nonlinfit2=fitnlm(x,y,m2,[1;1])
b1=nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
b2=nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1);
Y2=b1*x.^b2
hold on
plot(x,Y2,'r','linewidth',2)
legend('原数数据','a+b*lnx','a*x^b')运行结果如下：
从回归结果来看，对数形式的决定系数为 0.973 ，而指数形式的为 0.993 ，优于前者，所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系，这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
2. 多元回归
[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果（论文、著作等）的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系，为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者，得到如表3 所示的数据（ i 为学者序号），试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型，并得出有关结论和作统计分析。
表3 从事某种研究的学者的相关指标数据
（1）作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
图3 因变量Y与各自变量的样本散点图
作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此，有比较好的线性关系，可以采用线性回归。绘制图3的代码如下：
%输入数据
x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];
%做散点图
subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*'),
subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+'),
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro'),
（2）进行多元线性回归
这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归，具体代码如下：
%进行多元线性回归
n=24;%数据项数
m=3;%影响变量个数
X=[ones(n,1),x1',x2',x3'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05)
运行结果如下
从计算结果中得到回归方程为：
由结果对模型的判断：
回归系数置信区间不包含零点表示模型较好，残差在零点附近也表示模型较好，
接着就是利用检验统计量 Ｒ，Ｆ，p 的值判断该模型是否可用。
1）相关系数 的评价：本例 Ｒ 的绝对值为 0.9542 ，表明线性相关性较强。
2）F 检验法：当 F > F1-α(m,n-m-1) ，即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系；否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 Ｆ＝67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
3）p 值检验：若 p < α（α 为预定显著水平），则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果，p<0.0001,显然满足 p<α=0.05(本题中默认)。
以上三种统计推断方法推断的结果是一致的，说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。当然越小越好，这主要在模型改进时作为参考。
3. 逐步归回
[ 例4 ] （Hald,1960）Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y（单位：卡/克）与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关：
在生产中测得 12 组数据，见表5，试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
表5 水泥生产的数据
对于例 4 中的问题，可以使用多元线性回归、多元多项式回归，但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看，逐步回归是以上两种回归方法的结合，可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题，逐步回归的代码如下：
%输入数据
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;
1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据
stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)
%Interactive stepwise regression
%
% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中程序执行后得到下列逐步回归的窗口，如图 4 所示
图4 逐步回归操作界面
在图 4 中，用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中，窗口的右侧按钮上方提示：将变量X3剔除回归方程（Move X3 out），单击 Next Step 按钮，即进行下一步运算，将第 3 列数据对应的变量 X3 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后，剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示，同时又得到提示：将变量 X4 剔除回归方程（Move X4 out），
图5 逐步回归操作界面
单击 Next Step 按钮，这样一直重复操作，直到 “Next Step” 按钮变灰，表明逐步回归结束，此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。
图6 逐步回归操作界面
stepwise regression界面的中间部分的表格给出了该回归模型的所有计算结果
从上图得到的最终模型为
4. Logistic 回归
[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款，金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式，0 表示企业两年后破产，将拒绝贷款，而 1 表示企业 2 年后具备还款能力，可以贷款。在表 6 中，已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果，试建立模型对其他 5 家企业（企业 21-25）进行评估。
表6 企业还款能力评价表
对于该问题，很明显可以用 Logistic 模型来回归，具体求解程序如下：
%logistic回归Matlab实现程序
%%数据准备
clc,clear,close all
X0=xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21')%前20家的评价指标值输入，即回归模型的输入
Y0=xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2:D21')%前20家的评价结果，即回归模型输出
X1=xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26')%预测数据输入
%%logistics函数
GM=fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
%fitglm Create generalized linear regression model
%X0--预测变量，Y0响应变量，后两个参数说明二项式模型
Y1=predict(GM,X1);%predict，根据模型预测数据
%%模型的评估
N0=1:size(Y0,1);
N1=1:size(Y1,1);
plot(N0',Y0,'-kd');%原始数据
hold on;
scatter(N1,Y1,'b')%预测数据，scatter 在矢量和指定的位置创建一个带圆圈的散点图
xlabel('数据点编号');
ylabel('输出值');得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
图5 回归结果与原始数据的比较图
5. 小结
本讲主要介绍数学建模中常用的几种回归方法。在使用回归方法的时候，首先可以判断自变量的个数，如果超过 2 个，则需要用到多元回归的方法，否则考虑用一元回归。然后判断是线性还是非线性，这对于一元回归是比较容易的，而对于多元，往往是将其他变量保持不变，将多元转化为一元再去判断是线性还是非线性。如果变量很多，而且复杂，则可以首先考虑多元线性回归，检验回归效果，也可以用逐步回归。总之，用回归方法比较灵活，根据具体情景还是比较容易找到合适的方法的。