【MATLAB】数学建模中的规划问题

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引子

关键词：费用最小、利润最大、问什么设什么
规划的分类：

• 约束规划与无约束规划（既无不等式约束又无等式约束）
• 线性规划（目标函数与约束函数均为线性函数）与非线性规划
• 整数规划（包括0-1规划）
• 多目标规划（目标函数形如$f(x) = [f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)]$）

相关术语：
可行解：满足约束条件的一组决策变量的取值
可行域：全部可行解的集合
最优解：可行域中使目标函数达到最优值的可行解

线性规划（Linear Programming,LP）

MATLAB中的标准形式：
$min \quad f(x)$
s.t.$\quad A\times x \le b$
$\qquad Aeq \times x =beq$
$\qquad lb \le x \le ub$
调用格式：[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

整数规划（Integer Linear Programming,ILP）

MATLAB中的标准形式：
$min \quad f(x)$
s.t.$\quad A\times x \le b$
$\qquad Aeq \times x =beq$
$\qquad lb \le x \le ub$
$\qquad x_1,x_2,\dots,x_n$部分或全部取整数
调用格式：[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

无约束非线性规划

求解方法：

• 目标函数连续可微：最速下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等
• 目标函数不连续不可微：遗传算法、粒子群算法等

问题类型：

1. 一元函数在给定区间上的最小值

   模型：$min \quad f(x) \quad s.t.x_1 \lt x \lt x_2$
   调用格式：[x,fval] = fminbnd(f,x1,x2)

2. 无约束的多元函数的最小值

   模型：$min \quad f(x)$
   调用格式：[x,fval] = fminunc(f,x0)

3. 无导数法求解无约束的多元函数的最小值
   模型：$min \quad f(x)$
   调用格式：[x,fval] = fminsearch(f,x0)

4. 遗传算法求解无约束规划问题的最小值
   模型：$min \quad f(x) \quad s.t. lb\le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = ga(fitnessfcn,nvars,[],[],[],[],lb,ub)

5. 粒子群算法求解无约束规划问题的最小值
   模型：$min \quad f(x) \quad s.t. lb\le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = particleswarm(f,nvars,lb,ub)

6. 模式搜索算法求解无约束规划问题的最小值

   模型：$min \quad f(x) \quad s.t. lb\le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = patternsearch(f,x0,[],[],[],[],lb,ub)

非线性规划

1. 二次规划
   模型：
   $min \quad Z= \frac{1}{2} x ^ \mathrm{ T }Hx+ c ^ \mathrm{ T }x$
   s.t.$A \cdot x \le b$
   $\quad Aeq \cdot x = beq$
   $\quad lb \le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
2. 约束的多元函数的最小值
   $min \quad f(x)$
   s.t.$A \cdot x \le b$
   $\quad Aeq \cdot x = beq$
   $\quad G(x) \le 0$
   $\quad Geq(x) = 0$
   $\quad lb \le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
3. 遗传算法求解约束规划问题的最小值
   $min \quad f(x)$
   s.t.$A \cdot x \le b$
   $\quad Aeq \cdot x = beq$
   $\quad G(x) \le 0$
   $\quad Geq(x) = 0$
   $\quad lb \le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon)
4. 模式搜索算法求解约束规划问题的最小值
   $min \quad f(x)$
   s.t.$A \cdot x \le b$
   $\quad Aeq \cdot x = beq$
   $\quad G(x) \le 0$
   $\quad Geq(x) = 0$
   $\quad lb \le x \le ub$
   调用格式：[x,fval] = patternsearch(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

多目标规划

多目标规划问题的解之间通常不能简单地比较好坏，这样的解称为非支配解或Pareto最优解
遗传算法求解多目标规划问题：
gamultiobj运用基于NSGA-II方法的多目标遗传算法
模型：
$min \quad F(x)$
s.t.$A \cdot x \le b$
$\quad Aeq \cdot x = beq（Linear Constraints）$
$\quad G(x) \le 0$
$\quad Geq(x) = 0（Nonlinear Constraints）$
$\quad lb \le x \le ub （Bound Constraints）$
调用格式：[x,fval] = gamultionj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
例题：求解下面的多目标规划
$min \quad f_1(x) = x_1^4 - 10x_1 + x_1x_2 + x_2^4 - x_1^2x_2^2$
$min \quad f_2(x) = x_1^4 + x_1x_2 + x_2^4 - x_1^2x_2^2$
$s.t. \quad -5 \le x_1,x_2 \le 5$
MATLAB代码：

%Fun.m
function y = Fun(x)
y(1) = x(1)^4 - 10 * x(1)^2 + x(1) * x(2) + x(2)^4 - x(1)^2 * x(2)^2; 
y(2) = x(1)^4 + x(1) * x(2) + x(2)^4 - x(1)^2 * x(2)^2; 

%gamultionj_usage.m
clc
clear
fitnessfcn = @Fun;
nvars = 2;
lb = [-5,-5];
ub = [5,5];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
%gamultiobj函数的参数设置
%最优个体系数paretoFraction = 0.3
%种群大小populationsize = 100
%最大进化代数generations = 200
%停止代数stallGenLimit = 200
%适应度函数偏差TolFun设为1e-10
%函数gaplotpareto绘制Pareto前沿
options = gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
[x,fval] = gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)