Matlab建模—回归拟合（ployfit与regress使用）

数学建模期末复习，撰写博客做总结之用，主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现，其中不足之处望读者多多指正。

多（一）元线性回归

多（一）元线性拟合公式

• 经验公式：$\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}x=\bar{y}+{\hat{\beta }}_1(x-\bar{x})$
• 参数公式：${\hat{\beta }}_1=\frac{\sum _{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}$，${\beta }_0=\bar{y}-{\hat{\beta }}_1\bar{x}$
• 残差计算：$Q_e=Q({\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1)=\sum _{i=1}^n{\left(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_i\right)}^2=\sum _{i=1}^n{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2$
• 检验：$Y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$的显著性检验，归结为对假设：$$H_0:{\beta }_1=0;H_1:{\beta }_1\ne 0$$
  如果$H_0:{\beta }_1=0$被拒绝，则回归显著，认为y与x存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y与x的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
  常用的检验方式有F检验、t检验。

Matlab相关函数

• 确定回归系数

b=regress( Y, X )]
b为拟合系数

• 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型

[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
bint:回归系数的区间估计；
r残差；
rint：置信区间
stats：回归模型的检验统计量相关系数$r^2$F与F的概率
alpha显著性水平。缺省值为0.05

• 画出残差与置信区间

rcoplot（r，rint）

利用regress函数进行多元拟合道理相同

例子1一元线性回归

x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]’;
X=[ones(16,1) x];
Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]’;对其进行回归拟合分析。

%拟合回归
x=[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 ...
    109 112 119 112 117 113 114 109 109 118
];
y=[118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 ...
    120 123 121 119 117 119 128 126 118 125];
[h,sig,ci] = ttest(x,115)

%残差分析
 rcoplot(r,rint)
 
%预测与作图
z=b(1)+b(2)*x
 plot(x,Y,'k+',x,z,'r')

• 结果

b =
-16.0730
0.7194
bint =-33.7071 1.5612
0.6047 0.8340
r = 1.2056
-3.2331
-0.9524
1.3282
0.8895
1.1702
-0.9879
0.2927
0.5734
1.8540
0.1347
-1.5847
-0.3040
-0.0234
-0.4621
0.0992
rint =
-1.2585 3.6697
-5.0755 -1.3907
-3.6086 1.7037
-1.3085 3.9649
-1.8718 3.6508
-1.5750 3.9153
-3.7915 1.8157
-2.5680 3.1534
-2.2676 3.4144
-0.7730 4.4811
-2.7019 2.9713
-4.2379 1.0686
-3.0911 2.4831
-2.7860 2.7392
-3.1326 2.2084
-2.4826 2.6810
stats =0.9282 180.9531 0.0000 1.7437

残差分析：

预测：

例子2多元线性回归

观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程$\hat{s}=a+bt+c{t}^2$

t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90...   
 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T)

Y=polyconf(p,t,S)
plot(t,s,'k+',t,Y,'r')

ployfit拟合

• 多项式使用

a=polyfit(x,y,m)
m是拟合次数，a是多项式系数
使用详情

例子2的另解

 t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
   [p,S]=polyfit(t,s,2)
   y2=polyval(p,t);
plot(t,s,t,y2,'o')