背包问题高维线性规划解

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背包问题是一个1896年提出的经典问题，在100余年的时间里出现了许多变种，而他最早的形式是01背包。

大意是指背包容量V,有n个物体每个物体体积$V_i$,质量$M_i$,问在空间允许下，可装入物体的最大质量总和为多少.

不难贪心的想到当物体的密度越大时，他的效益也就越高，那么…
学过背包的朋友看到这里可能就要笑了，因为这个贪心明显是错的，但至于我为什么要提这个贪心，后面再说。
为了防止误导大家，我先讲一下01背包的正解：

枚举：不难发现状态数只有$2^n$个，然后…

动态规划：定义$dp_{i,j}$为第放入i个物体，耗用j的空间的最大质量，O(Vn)即可做出来

ps:动态规划第二维可以滚动

线性规划

看完正解之后，然后我来讲一讲背包问题的本质：

背包问题本质是一个线性规划问题

背包问题本质是一个线性规划问题

背包问题本质是一个线性规划问题

重要的事说3遍。

关于线性规划，如果学过高中必修5，在不等式那一章有提到，其中的例题就是一个n=2的完全背包问题
如果没有学过必修5，也没有问题，线性规划是一个极易理解的方法。

不过，首先，你要确保你学过平面直角坐标系(-_-)///

对于平面上的一个点，我们可以用向量($x_0$,$y_0$)来表示，
对于拓展到高维的情况，也可以用一个对应维度的向量表达：($t_0$,$t_1$,$t_2$,…,$t_n$)

对于平面上的一条直线我们可以很容易表示出起显函数表达式：$y = ax + b$
我们称这种形式为斜截式，这种形式对于斜率为正负无穷的直线无法表示
故在此引入直线的一般式： $Ax + By + C = 0$,又称为直线方程
然后我们将其向三维推广

$$Ax+By+Cz+D=0$$
…
wait,不对啊，这个方程当x值确定为 $x_0$时， $By+Cz+(Ax_0+D)=0$
这时，y与z的表达式为直线，那岂不是，对于每一个x的值，都有一个在y,z轴上的直线，
那是…
没错，你猜的没错,那就是平面，于是乎你得到了一个平面的表达式，
那向高维推广呢，
$$A_0t_0+A_1t_1+A_2t_2+...+A_nt_n+A_{n+1}=0$$
这个方程可以描述一个(n-1)维的分割线，可以将一个n维物体分作两份。

看到这，你可能会说，说了半天，都没有扯到一点线性规划。
别急，这不是在打铺垫吗，你在仔细看看这句话：

一个(n-1)维的分割线，可以将一个n维物体分作两份。

对于一个直线(1维)，可以将一个平面(2维)分割成两个半平面，
wait,是不是发现了什么，
被直线分割的两个半平面可以分别用两个二元不等式来表示：

$$Ax+By+C<0$$
$$Ax+By+C>0$$
如果放过来表示，那么这个二元不等式，也可以用半平面来表示，
那么二元不等式的组的解集，即可以用半平面交来表示，
那拓展到n维，岂不是：

一个n元不等式组的解集，可以用“n维物体”交，来表示

至于n维物体到底长啥样，我是想象不出来，但这种方法确实使得一些不等式问题变得形象起来。
那这种方法叫什么呢？

答：线性规划

那至于01背包问题，我们可以转化为以下不等式组
$n_i$表示第i个物品取几个

$$0<=v_1n_1+v_2n_2+v_3n_3+...+v_nn_n<=V$$
$$0<=n_i<=1 \ \ \ 对任意i成立$$
不难发现这些不等式都可以转化成一个n维物体，这些物体的交，即为线性规划的 可行域。

wait,背包不是要求一个最大值吗，跟一个n维物体有什么关系。

我们先来写一下对于某一种选择情况$(n_1,n_2,...,n_n)$的收益方程

$$w=m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3+...+m_nn_n$$
转化为：
$$m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3+...+m_nn_n-w=0$$
不难看出 $n_i$为自变量，这个方程即可转化为一个n-1维物体，就是可以将刚刚那个n维空间分成两份的东西
感性理解一波，即可发现，背包问题最优的解即为，那个n维凸包，在这个n-1维的 斜率下的投影，
在可行域中最低的那个那个点.
那岂不是背包问题成为以一个凸包问题。
这个时候我们想一想刚开始我提的那个贪心算法，不正是沿着凸包的最优解吗？
这个时候，似乎整个世界都变得有些迷，那个贪心是对的吗？
但这个是时候，你就要仔细想想，背包问题，是一个，整数，问题

整数，问题！

你似乎发现的整个事情的玄机，原来，贪心的错误在这里，那么线性规划如何解决背包问题，在此，我给出一个最暴力的方法扫描凸包旁的整点,O($\prod^n_i(\frac{V}{n_i})$);似乎有点大，但是似乎也没有更好的解，却能让你更好的了解背包问题的本质。

然而线性规划的作用远不如此，更多用处还等大家慢慢探究.