文章目录
1. 基本介绍
1）为什么要有图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图
2）举例说明
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为访。结点怕可以称为而点。如图:
3）常用概念
-
顶点（vertex）
-
边（edge）
-
路径
-
无向图（下图）
-
有向图
-
带权图
4）表示方式
图的表示方式有两种：
-
二维数组表示（邻接矩阵）
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个
- 链表表示（邻接表）
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
说明：
- 标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
- 标号为1的结点的相关联结点为0 4
- 标号为2的结点相关联的结点为0 4 5
2. 入门案例
1）要求
2）代码实现
package A10_图;
/*
Date:2022/5/19
author: Blue Friday
describe: //todo
*/
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] edges; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; // 表示边的数目
public static void main(String[] args) {
int n = 5;
String VertexValue[] = {
"A", "B", "C", "D", "E"};
Graph graph = new Graph(n);
for (String s : VertexValue) {
graph.insertVertex(s);
}
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
graph.showGraph();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化 矩阵
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
// v1：点的下标
// v2：第二个顶点的下标
// weight：表示
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
// 图常用方法
// 1. 返回节点个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 2. 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 3. 返回节点 i 对应的数据 "0 -> A ; 1 -> B ; 2 -> C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 4. 返回 v1 v2 的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 5. 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
}
3. 深度优先遍历
1）图遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
2）深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search)。
-
深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，
可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
-
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
-
显然，深度优先搜索是一个递归的过程
3）深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问
- 查找结点v的第一个邻接结点w
- 如果w存在，则继续执行4，如果不存在，返回第一步，将从v的下一个结点继续
- 如果w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当作另一个v，然后进行步骤1 2 3 ）
- 查找结点v的w邻接点的下一个邻接结点，转到步骤3
A→B→C
B→D
B→E
4）代码
// ------深度遍历---------------------------------------------------------
// 得到第一个邻接结点的下标w
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] > 0) {
// 下一个邻结点存在
return i;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先,访问该结点
System.out.print(getValueByIndex(i) + " -> ");
// 设置已经访问
isVisited[i] = true;
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
// 说明有值
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果 w结点被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 重载
public void dfs() {
// 遍历所有结点进行 dfs
for (int i = 0; i < getNumOfEdges(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
4. 广度优先遍历
1）介绍
图的广度优先搜索(Broad First Search)。类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序.以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。
2）算法步骤
- 访问初始结点v并标记结点v为已访问
- 结点v入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束
- 出队列，取出队头节点U
- 查找结点u的第一个邻接结点w
- 如果节点u的邻接结点w不存在，则转到3,；否则循环执行以下三个步骤
- 若结点w未被访问，则访问节点w并标记为已访问
- 结点w入队列
- 查找结点u的继邻接结点后的下一个邻接结点w，转到6
3）代码
// -------广度遍历-----------------------------------------------------------
public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头节点对应下标
int w; // 邻接结点w
// 队列,记录结点访问顺序
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
System.out.println(getValueByIndex(i) + " -> ");
// 标记为已访问
isVisited[i] = true;
// 将节点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头结点下标
u = queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
// 找到
// 是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.println(getValueByIndex(w) + " -> ");
// 标记
isVisited[w] = true;
queue.addLast(w);
}
// 以 u 为前驱点，找w后的邻接结点
w = getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
public void bfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfEdges(); i++) {
if(!isVisited[i]){
bfs(isVisited, i);
}
}
}
5. 对比
![[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sLuAuFRU-1652950874607)(https://secure2.wostatic.cn/static/mBWR5FpbVbrNSUg85NSZ1S/image.png)]](https://img-blog.csdnimg.cn/d1622fa525394b8182a249999283d4f1.png)
int n = 8;
String VertexValue[] = {
"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
Graph graph = new Graph(n);
for (String s : VertexValue) {
graph.insertVertex(s);
}
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
graph.showGraph();
System.out.println("-------dfs-------------");
graph.dfs();
System.out.println();
System.out.println("-------d=bfs-------------");
graph.bfs();
结果
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
-------dfs-------------
1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 5 -> 3 -> 6 -> 7 ->
-------bfs-------------
1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 ->