bzoj3097: Hash Killer I

题目
题解

Solution

如果 $base$是偶数，那么 $a.........aaa(>64$个 $a)$与 $ba.......aa(a$的数量为前面那么串 $a$的数量 $-1)$，这两个串长度相同， $hash$值相同，显然串是不同的，这样就卡掉了。
如果 $base$是奇数，就比较麻烦了。
看 $vfk$的做法吧：
如果 $base$是奇数的话，现在只考虑 $a$、 $b$两个字母。
$a|b$表示 $a$能整除 $b$。（ $orz$具体数学）
设数学上的函数 $not(S)$表示把字符串 $S$中每个位置的 $'a'$变成 $'b'$，把 $'b'$变成 $'a'$后形成的字符串。
$strA.strB$代表字符串串联。
$|str|$表示字符串 $str$的长度。
设字符串序列 ${orzstr[i]}$， $orzstr[1]="a",orzstr[i]=orzstr[i-1].not(orzstr[i-1])$
那么 $|orzstr[i]|=|orzstr[i-1]|*2$。显然这是等比数列，得到： $|orzstr[i]|=|orzstr[1]|.2^{i-1}=2^{i-1}$
设 $hash(str)$为 $str$的哈希值。
则：
$hash(orzstr[i])=hash(orzstr[i-1])*base^|not(orzstr[i-1])|+hash(not(orzstr[i-1]))$
$=hash(orzstr[i-1])*base^{2^{i-2}}+hash(not(orzstr[i-1]))$
$hash(not(orzstr[i]))=hash(not(orzstr[i-1]))*base^{2^{i-2}}+hash(orzstr[i-1])$
两式相减：
$hash(orzstr[i])-hash(not(orzstr[i]))$
$=(hash(orzstr[i-1])*base^{2^{i-2}}+hash(not(orzstr[i-1])))-(hash(not(orzstr[i-1]))*base^{2^{i-2}}+hash(orzstr[i-1]))$
$=(hash(orzstr[i-1])-hash(not(orzstr[i-1])))*(base^{2^{i-2}}-1)$
这让我们发现， $hash(orzstr[i])-hash(not(orzstr[i]))$似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串 $strA,strB$使得
$hash(strA)=hash(strB)(mod(2^{64}))$
相当与
$2^{64}|[hash(strA)-hash(strB)]$
设数列 ${f[i]}$， $f[i]=hash(orzstr[i])-hash(not(orzstr[i]))$
这样就有：
$f[i]=f[i-1]*(base^{2^{i-2}}-1)$
还是有点不爽啊……我们再设数列 ${g[i]}$， $g[i]=base^{2^{i-1}}-1$
于是能写成：
$f[i]=f[i-1]*g[i-1]$
则 $f[i]=f[1]*g[1]*g[2]*...*g[i-1]$
然后发现一个神奇的事情？
$base$是奇数，则 $base$的任意正整数次方也一定是奇数。所以对于任意的 $i$必有 $g[i]$为偶数，所以 $2^{i-1}|f[i]$
问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使 $2^{64}|f[i]$，至少得让 $i=65$……然后发现 $|orzstr[65]|$是个天文数字。
发现我们刚才那样分析太坑爹了……
$i>1$时有：
$g[i]=base^{2^{i-1}}-1=(base^{2^{i-2}}-1)*(base^{2^{i-2}}+1)=g[i-1]*$一个偶数
而 $g[1]$显然是偶数吧……
那么 $4|g[2]$， $8|g[3]...$
也就是说 $2^i|g[i]$
所以 $f[i]$实际上有：
$(2^1)*(2^2)*(2^3)*...*(2^{i-1})|f[i]$
$2^{i*(i-1)/2}|f[i]$
当 $i$取 $12$时，就有 $66$个 $2$了哟！
这就是卡 $base$为奇数时的方法。 $orzstr[12]$和 $not(orzstr[12])$即为所求。

而读入中 $base$既有奇数又有偶数，直接在奇数构造的字符串后面加 $64$个 $a$就可以了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
int i,now,j;
char s[1<<12];
int main(){
	puts("2113 1024");
	putchar(s[now=1]+97);
	for (i=0;i<11;i++,now<<=1)
		for (j=0;j<now;j++) putchar((s[now+j]=s[j]^1)+97);
	for (i=0;i<65;i++) putchar('a');
}