Hash Killer IV(欧拉定理&逆元)

Hash Killer IV(欧拉定理&逆元)

前话：貌似网上没有做出 $Hash\ Killer\ III$的人，可能是因为 $double\ hash$ 的正确性很高，不然 $double\ hash$挂掉， $hash$算法就彻底宣告 $gg$了，看到有 $IV$版本，就过来了，结果发现跟 $Hash\ Killer$半毛钱关系没有。

思路：多所有操作倒过来进行。

对于 $1,3,5$操作。

$ep:t=t+(t<<10)=t\times (2^{10}+1)$.

即： $t=t\times (2^i+1)$.

因此对于方程 $(2^i+1)x=t\pmod{2^{32}}$。

考虑欧拉定理： $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{p},(a,p$互质)

即： $a\times a^{(\varphi(n)-1)}\equiv1\pmod{p}$。

即 $a$的逆元 $inv_a=a^{(\varphi(n)-1)}\pmod{p}$

注： $\varphi(2^{32})=2^{32}-2^{31}=2^{31}$

然后我们用 $t\times inv_{(2^i+1)}\pmod{p} =x$

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就可以得到 $x$了。

对于 $2,4$操作。

因为 $(t>>i)$对于前 $i$位是不会改变的，所以可以用前面的高位推得低位。

这里用了一个常见的公式： $a\oplus b=c\rightarrow a\oplus c=b$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
using namespace std;
void Xor(ui &x,ui y){
	for(int i=31-y;~i;i--){
		x^=((x>>(i+y)) & 1) << i;
	}
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		ui x;
		cin>>x;
		x*=4294901761u;//(2^16+1)的逆元
		Xor(x,11);	
		x*=954437177u;//(2^3+1)的逆元 
		Xor(x,6);
		x*=3222273025u;//(2^10+1)的逆元 
		cout<<x<<'\n';
	} 
}