BZOJ.3097 Hash Killer 1(卡掉自然溢出法)

BZOJ.3097 Hash Killer 1(卡掉自然溢出法)

题意：卡掉自然溢出法求不同长度为 $L$的字符串个数做法。

1.当 $base$为偶数时，我们可以根据自然溢出法 $mod\ 2^{64}$的原理，构造含 $2^{64}$的 $hash$值。

如： $65$个 $a\rightarrow hash=0$，一个 $b$后面 $64$个 $a\rightarrow base^{64}$。

因为 $base$是偶数，所以 $hash_2=base^{64}\% mod=0=hash_1$

2.当 $base$为奇数时，根据 $vFk$巨佬的做法。

令 $A[1]=a,not(A[i])$表示将 $A[i]$所有字母中的 $a$变成 $b$， $b$变成 $a$。

且 $A[i]=A[i-1]+not(A[i-1])$。

即： $A[1]=a,A[2]=ab,A[3]=abba,A[4]=abbabaab\dots\dots$

$A[i]$的长度为 $2^{i-1}$。

即： $hash(A[i])=hash(A[i-1])\times base^{2^{i-2}}+hash(not(A[i-1]))$

令： $f[i]=hash(A[i])-hash(not(A[i]))$

可以推出： $f[i]=f[i-1]\times(base^{2^{i-2}}-1)$

令 $g[i]=base^{2^{i-1}}-1$。

显然 $g[i]$是偶数。

$f[i]=f[i-1]\times g[i-1]$。

$f[i]=f[1]\times\prod\limits_{i=1}^{i-1}g[i]$

即： $2^{i-1}|f[i]$。

又： $g[i]=base^{2^{i-1}}-1=(base^{2^{i-2}}-1)\times(base^{2^{i-2}}+1),g[i]=g[i-1]\times 偶数$。

所以 $2^{1+2+3\dots+i-1}|f[i]\rightarrow 2^{\small\dfrac{i(i-1)}{2}}|f[i]$。

即： $i=12$即可。

因为 $f[i]=hash(A[i])-hash(not(A[i]))$

说明 $2^{\small\dfrac{i(i-1)}{2}} |hash(A[i])$。

$len=2^{i-1}=2^{11}$

$n=2^{12},l=2^{11}$

并且在后面加 $64$个 $a$也能卡掉偶数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<13)+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
char s[N];
int main(){
	int n=1;
	s[0]='a';
	for(int i=0;i<12;i++,n<<=1)
		for(int j=0;j<n;j++)
			s[j+n]=s[j]=='a'?'b':'a'; 
	printf("%d %d\n",n+64,n>>1);
	printf("%s",s);
	for(int i=0;i<64;i++) putchar('a');
	return 0;
}