（二）牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的计算sqrt（n）的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2。详细解释见下文。
一般性的编程方法如下：
double sqr(double n) {
double k=1.0;
while(abs(k*k-n)>1e-9) {
k=(k+n/k)/2;
}
return k;
}（三）利用牛顿迭代法计算开平方根
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。
过程如下：
首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
下面用C语言实现一遍：
#include "stdio.h"
#include "math.h"
int main(void)
{
double n,y=1.0;
printf("请输入一个需要求其平方根的数：");
scanf("%lf",&n);
// 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
{
y=1.0/2.0*(y+n/y);
printf( "y=%lf\n", y );
}
printf("平方根为%f\n",y);
return 0;
}请输入一个需要求其平方根的数：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根为1.414216
请输入一个需要求其平方根的数：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根为1.732051更快的方法：