轻松理解牛顿迭代法且用其求平方根

牛顿迭代法概述

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

牛顿迭代公式

设$r$是$f(x)=0$的根，选取$x_0$作为$r$的初始近似值。

过点$(x_0,f(x_0))$做曲线$y=f(x)$的切线$L_1$，$L_1:y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，则$L_1$与$x$轴交点的横坐标$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$，称$x_1$为$r$的一次近似值。

过点$(x_1,f(x_1))$做曲线$y=f(x)$的切线$L_2$，$L_2:y=f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x-x_1)$，则$L_2$与$x$轴交点的横坐标$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}$，称$x_2$为$r$的一次近似值。

重复以上过程，得$r$的近似值序列，其中，$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$称为$r$的$n+1$次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

举个例子

题目

用牛顿迭代法求出$\sqrt{2}$的二次正近似值（初始近似值$x_0=2$）。

解答

$$x=\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2=0$$

$$f(x)=x^2-2$$

$$f^{\prime }(x)=2x$$

设$r$是$f(x)=0$的正根，$x_0=2$作为$r$的初始近似值。

$f(x)$过点$A(2,f(2))\Rightarrow A(2,2)$。

过点$A$作曲线$y=f(x)$的切线$L_1$：

$$L_1:y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

$$y=2+2\cdot 2\cdot (x-2)$$

$$y=4x-6$$

则$L_1$与$x$轴交点的横坐标$x_1$:

$$0=4x_1-6$$

$$x_1=\frac{3}{2}$$

或者直接用牛顿迭代公式:

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=2-\frac{2^2-2}{2\cdot 2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

$x_1$为$r$的一次近似值。

---

$f(x)$过点$B(\frac{3}{2},f(\frac{3}{2}))\Rightarrow B(\frac{3}{2},\frac{1}{4})$。

过点$B$作曲线$y=f(x)$的切线$L_2$：

$$L_2:y=f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x-x_1)$$

$$y=\frac{1}{4}+2\cdot \frac{3}{2}\cdot (x-\frac{3}{2})$$

$$y=3x-\frac{17}{4}$$

则$L_2$与$x$轴交点的横坐标$x_2$:

$$0=3x_2-\frac{17}{4}$$

$$x_2=\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$$

或者直接用牛顿迭代公式:

$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}=\frac{3}{2}-\frac{(\frac{3}{2}{)}^2-2}{2\cdot \frac{3}{2}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{12}=\frac{17}{12}$$

$x_2$为$r$的二次近似值。

综上所述，$\sqrt{2}$的二次正近似值为$\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$。

用牛顿迭代法求平方根的Java程序实现

假设你想用程序实现求出$a$的正平方根。

已知三个公式：

1. 牛顿迭代公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
2. $f(x)=x^2-a$
3. $f^{\prime }(x)=2x$

由三个公式可得：

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_n^2+a}{2x_n}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$$

因此，容易编写出以下程序：

public class Sqrt {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        System.out.println(sqrt(2));
    }

    private static double sqrt(double a) {
    
    
        if (num < 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        double err = 1E-15;
        double cur = a;
        while (Math.abs(a - cur * cur) > err)//精度越来越高
            cur = (cur + a / cur) / 2;
        return cur;
    }
}

参考资料

1. 牛顿迭代法_百度百科
2. 如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？ - 知乎
3. 牛顿迭代法快速寻找平方根
4. 牛顿求根法