算法 - 牛顿迭代法求平方根

Q: 

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

A:

这里给出两种实现方法：一是二分搜索，二是牛顿迭代法。

1. 二分搜索

对于一个非负数n，它的平方根不会小于大于（n/2+1）（谢谢@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2+1]这个范围内可以进行二分搜索，求出n的平方根。

int sqrt(int x) {
    long long i = 0;
    long long j = x / 2 + 1;
    while (i <= j)
    {
        long long mid = (i + j) / 2;
        long long sq = mid * mid;
        if (sq == x) return mid;
        else if (sq < x) i = mid + 1;
        else j = mid - 1;
    }
    return j;
}

注：在中间过程计算平方的时候可能出现溢出，所以用long long。

 2. 牛顿迭代法

 

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

int sqrt(int x) {
    if (x == 0) return 0;
    double last = 0;
    double res = 1;
    while (res != last)
    {
        last = res;
        res = (res + x / res) / 2;
    }
    return int(res);
}

牛顿迭代法也同样可以用于求解多次方程的解。

P.S. 本题是求解整数的平方根，并且返回值也是整型。在上述代码基础上稍微做修改，就可以同样适用于double（仅限方法2）。

double sqrt(double x) {
    if (x == 0) return 0;
    double last = 0.0;
    double res = 1.0;
    while (res != last)
    {
        last = res;
        res = (res + x / res) / 2;
    }
    return res;
}