[JZOJ2700] 【GDKOI2012模拟02.01】数字

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题目

题目大意

其实这题的题目大意非常简练，所以我认为我不用解释了。

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思考历程

首先乱推了一波，然后什么东西都没有发现。
于是想想 $D(i)$的性质。
我发现，由于每次是将各位上的数字相加。所以最多操作三次。
本来是一个很大的数，然后缩小成百位数，然后缩成十位数，最后缩成个位数。
我想，既然缩小一次就成了百位数了，所以，为什么不直接把百位数的表打出来，然后再继续推式子呢？
然后我就把表打了出来。
于是我就发现，我前面的想法尽是没用的……
因为我发现了一个显而易见的规律： $D(i)=(i-1) \mod 9+1$
这个规律可以感性理解，也可以理性证明，反正很简单，我就不说了。
所以说，一个“被喜欢的数”就是能被 $x*((x-1)\mod 9+1)$表示的数。
接下来就开始了我的瞎搞历程（提醒一下，正确性有误……）
由于 $D(x)<=9$，不妨枚举 $D(x)$，设为 $j$。
设现在的数为 $i$。显然，如果要成立，首先要满足 $i \mod j=0$。
然后乱推： $\left(\frac{i}{j}-1\right) \mod 9+1 =j$
所以 $\left(\frac{i}{j}-1\right) \mod 9=j-1$
由于 $j-1< 9$，所以 $\frac{i}{j}-1 \equiv j-1 (\mod 9)$，所以 $\frac{i}{j} \equiv j (\mod 9)$
然后就是最尴尬的步骤： $i\equiv j^2(\mod 9)$
所以说，如果 $i$满足条件，必定有一个 $j$使得 $i \mod j=0$且 $i\equiv j^2(\mod 9)$。
哈，这东西好像可以DP！
设 $f_{i,j,k}$表示到第 $i$位，模 $2520$的余数为 $j$，第 $i$位上的值为 $k$的数的个数。
（ $2520$是 $1$到 $9$的最小公倍数）
按照之前推出来的条件，我们可以发现它是否为“被喜欢的数”只和 $j$有关。
那我就可以愉快地数位DP了。

然而现实是残酷的……
WA了……
后来推了好久，我发现原来是上面的一步出现了问题：
我们知道 $\frac{i}{j} \equiv j (\mod 9)$，可以推出 $i\equiv j^2(\mod 9)$。可是后者不一定推出前者。
因为 $9$不是质数……
不过如果只有这点错误，随便改一改那似乎也是可以过得去的。
然后我就发现原来还是需要判重！
怎么判？数位DP怎么判？判不了啊！

XC说，今天除了第一题之外，其他的题还是很有难度的。
除了第一题！！！！！！

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正解

先说一个别人家的正解（当然我不懂是为什么）：
就是打一波表，然后发现，咦，原来是有循环节的！
然后就随随便便的搞定了……

然后再说一个正经一些的做法：
首先对于一个数 $x*D(x)$，我们可以将其表示为 $(9t+D(x))*D(x)$。
$D(x)$的取值是很少的，也就只有 $9$种。
我们把它当成常数来看，然后就变成 $9D(x)*t+D^2(x)$，变成 $at+b$的形式。
对于一个 $D(x)$，我们可以很容易地计算出它在某一个区间里的贡献。
然后我们要去重。
如何去重？容斥原理，将一些式子合并一下就可以了。用扩展中国剩余定理就好。
可以手打扩展中国剩余定理，其实也是可以推出来的嘛……
可是某些机智懒惰的同学发现了一个好方法：
我们将所有的 $D(x)$的式子列出来，然后将它们都模 $9$。
然后就会惊奇地发现下面的这张表：
1 4 0 7 7 0 4 1 0
只有模数相同的有可能可以合并。
所以运算量大大减少……
然后我就全部手推出来了。具体见程序（有的式子合并之后无解，我也有注释）。
然后这题就愉快地解决了。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
struct func{
	int a,b,ty;
} d[20];
int cnt;
inline long long getans(long long lim){
	long long res=0;
	for (int i=1;i<=cnt;++i)
		if (lim-d[i].b>=0)
			res+=((lim-d[i].b)/d[i].a+1)*d[i].ty;//计算贡献……不用解释
	return res;
}
int main(){
	for (int i=1;i<=9;++i)
		d[++cnt]={i*9,i*i,1};
	d[++cnt]={72,64,-1};//d[1] and d[8]
	d[++cnt]={126,112,-1};//d[2] and d[7]
	d[++cnt]={180,160,-1};//d[4] and d[5]
	d[++cnt]={54,36,-1};//d[3] and d[6] 其实在仔细观察之后可以发现，这个和d[6]抵消了。
	//d[3] and d[9]=empty
	//d[6] and d[9]=empty
	//d[3] and d[6] and d[9]=empty
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		long long l,r;
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("%lld\n",getans(r)-getans(l-1));
	}
	return 0;
}

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总结

每次做比赛时，我要么是不屑于打表，要么就是懒得打表。
可是经验和事实告诉我们，打表是信息学竞赛选手必备的技能！
我们要培养起自己的打表精神，让它贯彻入信息学竞赛中！
瞎BB结束