051泰勒展开

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这里不说什么泰勒中值定理，什么佩亚诺余项还是拉格朗日余项，直接写出通用公式：
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdot\cdot\cdot + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$

麦克劳林公式，即： $x_0 = 0$，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：
$f(x) = f(0) + f'(0)x- + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdot\cdot\cdot + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$

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常用泰勒展开（麦克劳林公式）

$\begin{aligned} e^x &\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}\\ \\ sinx &\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+···+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ \\ cosx &\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-···+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \\ ln(1+x) &\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-···+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\\ \\ (1+x)^\alpha &\approx 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +···+\frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n \end{aligned}$