一、麦克劳林公式
对于一些复杂的函数, 要研究其性质往往是比较困难的. 而多项式函数的性质往往比较简单, 所以有时候, 为了方便研究, 我们可能会想着: 能不能用一个多项式函数去近似一个复杂的函数?
可以看到, 在x=0这一点上, 两个函数的值都是1, 但在x=0的邻域, 这两个函数的图像一点都不相似, 所以这个近似效果一般...
那如何让近似效果更好一些呢, 可以想到, 不妨用导数试试. 导数可以反应函数在某一点的变化率, 如果两个函数在x=0处, 除了y值相同, 变化率也相同, 那两个函数应该会更相似一些.
更相近了..
再来看几张:
为什么等号右侧的多项式(不含最后的余项)要写成这种形式呢? 其实理论上, 右侧的多项式也可以写成别的形式, 其本质只是为了满足下面这个条件:
让右侧多项式函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 被近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导
这里的多项式
只是满足这个条件的一种形式. 如果还有别的形式的函数可以满足这个条件, 它也可以替换掉麦克劳林公式中的的多项式部分.
这里引用下"各向异性角点解"同学的一段话:
泰勒展开(或者说麦克劳林公式)并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。
二、泰勒公式
麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0时的特殊情况, 现在抛开x0=0, 让x0可以是函数定义域中的任意值(只要在x0处n阶可导就行), 就变成了泰勒公式
理解了麦克劳林公式, 很快就能理解泰勒公式了: 泰勒公式用于在x0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)
三、总结
I. 泰勒公式的作用是描述如何在x0点附近, 用一个多项式函数去近似一个复杂函数.
II. 之所以能实现这种近似, 背后的逻辑是:
让近似多项式函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 原始函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导
即, 如果函数A和函数B在某一点的值一样, 变化率一样, 变化率的变化率一样, 变化率的变化率的变化率也一样...
就这样层层深入, 无论深入到哪一个维度, 关于这一点的变化率, 函数A和函数B都是一样的, 那就可以推断:
在这一点上, 函数A和B应该是一样的
在这一点附近, 函数A和B应该很相似
离这一点越远, 函数A和B的相似程度就越难以保证