【证明】欧拉公式（泰勒展开）

小时候一直听父亲装逼
$e^{i\pi}+1=0$
心想总有一天我会弄懂，现在可算可以争一口气了
其实这个公式的原型是 $e^{i\theta}=cos\theta+i*sin\theta$
前置知识：泰勒展开（用一个多项式去拟合一个复杂函数）

$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$
证明可以百度，博主是跟这篇学的 here

将 $e^x$ 在 0 点展开得到
$e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$
将 $cos(x)$ 在 0 点展开得到
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
将 $sin(x)$ 在 0 点展开得到
$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
将 $x=i\theta$ 代入得
$1+\frac{(i\theta)}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+...=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-...)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...)$
所以有
$e^{i\theta}=cos\theta+i*sin\theta$