e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ ∈ ( − ∞ , + ∞ ) sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 x + 1 = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 + ⋯ , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + ⋯ , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ln ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 x n + 1 = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ] 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) ( 1 + x ) α = 1 + ∑ n = 1 ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 + ⋯ + x ∈ [ − 1 , 1 ] arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + 1 6 x 3 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + 35 1152 x 9 + ⋯ + , x ∈ ( − 1 , 1 ) \begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots \in(-\infty,+\infty) \\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 x+1}=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\frac{1}{5 !} x^{5}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{4 !} x^{4}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \ln (1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots, x \in(-1,1)\\ (1+x)^{\alpha}&=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+ x \in[-1,1] \\ \arcsin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} x^{2n+1}=x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40} x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152} x^{9}+\cdots+, x \in(-1,1) \end{aligned} exsinxcosxln(1+x)1−x11+x1(1+x)αarctanxarcsinx=n=0∑∞n!1xn=1+x+2!1x2+⋯∈(−∞,+∞)=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2x+1=x−3!1x3+5!1x5+⋯,x∈(−∞,+∞)=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−2!1x2+4!1x4+⋯,x∈(−∞,+∞)=n=0∑∞n+1(−1)nxn+1=x−21x2+31x3+⋯,x∈(−1,1]=n=0∑∞xn=1+x+x2+x3+⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯,x∈(−1,1)=1+n=1∑∞n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1=x−31x3+51x5+⋯+x∈[−1,1]=n=0∑∞4n(n!)2(2n+1)(2n)!x2n+1=x+61x3+403x5+1125x7+115235x9+⋯+,x∈(−1,1)
2021年2月17日00:12:40