Josephus问题是古代一个著名的数学难题。围绕这个问题有很多故事。 其种一个说Josephus是一群被罗马人抓获的犹太人中的一个，为了不被奴役，他们选择了自杀。 他们排成一个圆圈，从某个人开始，沿着圆圈计数。每报第n个数的人就要离开圆圈去自杀。但是Josephus不想死，他想活下来，所以他制定了规则，以使他称为最后一个离开圆圈的人（最后一个离开表示其他人都出圈去自杀了，他就活下来了）。 如果有（例如）有5个人，标号1 2 3 4 5，从2开始数，数3个就第3个出去自杀，2 3 4，故标号4的人出去自杀，剩下1 2 3 5，又从5开始数，5 1 2，故标号2的人出去自杀剩下1 3 5，又从3开始数，3 5 1，故1出去自杀，然后从标号为1的下一个标号3开始数：3 5 3所以标号为3的出去自杀，这时候只剩下标号5了，也就是说除了标号5其他人都自杀go die了，Josephus很快想到了这个点子，占据了5号位置，活了下来。
-
第一种方法：
最简单粗暴的方法就是模拟该过程，用一个循环链表即可实现，比较容易实现。制造一个链表，将编号1定为first结点，然后从上往下开始一直插入结点，因为编号是按顺序的，所以可用一个for循环来实现。完成赋值工作以后，紧接着只需要遍历链表即可，当达到对应的个数时删除该结点。只要该结点可它的next域指向的结点相同，则说明已经是最后一个，不再循环，输出该值。代码中的
n代表：该环的总人数
m代表：对应的编号应该去自杀了
k代表：开始游戏的起始编号
首先定义一个结点类：
/**
* 定义Josephus结点类
* @author Administrator
*
*/
public class JosephusLink {
public int data;
public JosephusLink next;
public JosephusLink(int data) {
super();
this.data = data;
this.next = null;
}
}
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
/**
*
* @author Administrator
*
*/
public class Josephus {
private JosephusLink first; //定义first结点
private JosephusLink newLink; //方便插入结点
public Josephus(int n,int m,int k){
first = new JosephusLink(1); //初始化first结点
newLink = first;
//共有n人
for(int i=2;i<=n;i++) { //开始赋值工作
newLink.next = new JosephusLink(i);
newLink = newLink.next;
}
//循链表
newLink.next = first;
//从第m个人开始
for(int i=1;i<k;i++) {
newLink = newLink.next;
}
while(newLink!=newLink.next) { //遍历链表，只要不是同个结点就往下遍历
for(int i=1;i<m;i++) {
newLink = newLink.next;
}
newLink.next = newLink.next.next; //对应编号go die
}
System.out.println("The lastest man's number is: "+newLink.data);
}
//getString()方法 和 getInt()方法均为了输出，当做上次迭代器的练习，可以忽略
public static String getString() throws IOException{
InputStreamReader isr = new InputStreamReader(System.in);
BufferedReader br = new BufferedReader(isr);
String s = br.readLine();
return s;
}
//可忽略
public static int getInt() throws IOException{
String s = getString();
return Integer.parseInt(s);
}
//测试
public static void main(String[] args) throws IOException {
int n,m,k;
System.out.println("Please enter numbers n: ");
n = getInt();
System.out.println("Please enter numbers m: ");
m = getInt();
System.out.println("Please enter numbers k: ");
k = getInt();
System.out.println(" ");
Josephus o = new Josephus(n,m,k);
}
}
时间复杂度：O(N*M)，这耗时太长，我们下面将其进行优化。
-
第二种方法：
递归法，运用数学上巧妙的方式将其进行整理，优化。在该优化中，为了更好的理解其思想，我们将k略去，默认其每一个Josephus环都是从1开始的，第m个人出去自杀。
为了让大家方便理解，在这里举了个例子并用了一个表格呈现：（例子为一共有7个人即n=7，第3个人go die即m=3）
假设我们已经知道最终能够活下来的人的编号为4，我们找一找4在n==7的时候的位置，它在小标为3的地方，当n==6的时候，它在下标为0的地方，当n==5的时候，它又在下标为3的地方了，以此类推。嗯，说这么多看不出来有什么东西？我们尝试逆着看回去，当n==5，它在下标为3的地方，n==6的时候，它在下标为0的地方，n==7的时候，它在下标为3的地方，我们可以发现n==7时候的下标是n==6所处下标即0+3然后再余%7得来的，当n==6的时候，我们发现是n==5所处下标即3+3然后%6得来的，往后以此类推。
于是呢，我们就可以得到这么一条规则：幸存者在该轮所处的位置都是上一轮加上步长m后余该轮总人数得来的。所以我们可以从第二轮，一层层往上遍历，当总人数为n的时候，我们就知道编号是多少了。因为我们都是按顺序来的，编号总是比下标大1，所以我们找到编号所处的位置即下标我们就找到了该编号。
（问：为什么从0开始，因为求余得到的数有可能是0。）
代码：
import java.util.Scanner;
public class TestJ {
public static void main(String[] args){
System.out.println("Please enter n and m: ");
Scanner s = new Scanner(System.in);
int n = s.nextInt();
int m = s.nextInt();
int number = Josephus(n,m);
System.out.println(number);
}
public static int Josephus(int n,int m) {
int p = 0;
for(int i=2;i<=n;i++) {
p = (p+m)%i;
}
return p+1;
}
}
时间复杂度：O(N). 有什么不懂的可以问哦。
注：其实还有一种更加优化的方法，我们在取余数的时候发现有些是一样的，我们可以进一步优化，这种优化方案属于竞赛的范畴了，在这里不多做解释，有兴趣的可以看下面这篇文章。觉得挺不错：