约瑟夫环问题（josephus problem）详解

约瑟夫环问题描述:
编号为1,2,3…n的人一词围成一圈，从第k个人开始报数（从1开始），数到m的人退出。接着下一个人又从1开始报数，数到m的人退出，以此类推。问：剩下的人的编号是多少？

如：n=6,m=3,k=1
原始序列： 1 2 3 4 5 6 ；从编号1开始报数
第一轮数完后的序列为： 1 2 4 5 ； 3、6出列——从编号1开始报数
第二轮数完后的序列为： 1 2 5 ； 4出列——从编号5开始报数
第三轮数完后的序列为： 1 5 ； 2 出列——从5开始报数
第四轮数完后的序列为： 1 ；5 出列

所以，最后出列的编号为1.

求解方法一：模拟报数过程，时间复杂度O(M*N)

该方法的思想是将所有的编号构造成一个环形链表，然后移动到编号为k的节点开始报数，数到M的时候移除链表节点，接着从下一个节点开始报数，移除数到M的节点。以此类推，直到只剩下一个节点。

public static int josephusOMN(int n, int m) {
        return josephusOMN(n, m, 1);
    }
 
    public static int josephusOMN(int n, int m, int k) {
        if (n <= 0 || m <= 0 || k <= 0)
            return -1;
        // consruct josephus circle
        JosephusNode header = new JosephusNode(1);
        JosephusNode nodes = header;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            nodes.mNext = new JosephusNode(i);
            nodes = nodes.mNext;
        }
        nodes.mNext = header;
        // end
        for (int i = 1; i < k; i++) {
            nodes = nodes.mNext; // move to start off person
        }
        while (nodes != nodes.mNext) {
            for (int i = 1; i < m; i++) {
                nodes = nodes.mNext;
            }
            // System.out.print(nodes.mNext.mNum + " , ");
            nodes.mNext = nodes.mNext.mNext;
        }
        return nodes.mNum;
    }
 
    private static class JosephusNode {
        public int mNum;
        public JosephusNode mNext;
 
        public JosephusNode(int num) {
            this(num, null);
        }
 
        public JosephusNode(int num, JosephusNode node) {
            mNum = num;
            mNext = node;
        }
    }

求解方法二：方便求解最后的胜利者同时也适合打印出列序列的，时间复杂度O(N).

下面方法借鉴自Java程序练习-约瑟夫环问题

public static int josepusONWithList(int n, int m) {
        return josepusONWithList(n, m, 1);
    }
 
    public static int josepusONWithList(int n, int m, int k) {
        if (n <= 0 || m <= 0 || k <= 0)
            return -1;
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            list.add(i);
        int outPos;
        while (list.size() > 1) {
            outPos = (int) (k + m - 2) % list.size();
            // System.out.print(list.get(outPos)+" , ");
            list.remove(outPos);
            k = outPos + 1;
        }
        // System.out.println(list.get(0));
        return list.get(0);
    }

求解方法三：对模拟方法的改进——数学优化方法，时间复杂度O(N)。具体思想参见约瑟夫环的数学优化方法

public static int josephusON(int n, int m) {
        return josephusON(n, m, 1);
    }
 
    /**
     * Josephus 环的一个O(N)算法
     * 
     * @param n 总人数
     * @param m 数到m的人出列
     * @param k 开始报数人的编号
     * @return 最后一个出列的编号
     */
    public static int josephusON(int n, int m, int k) {
        int p = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // System.out.print((p + k == n ? n : (p + k) % n)+"  ");
            p = (p + m) % i;
        }
        return p + k == n ? n : (p + k) % n; // 返回最后一人的位置
    }

在有时候需要知道出列的序列，上述System.out部分就是出列序列。

约瑟夫环问题求解就先写到这里，朋友们若有其他方法也别忘了告诉楼主哦^_… 收集到其他求解方法后再补充。

约瑟夫环问题（josephus problem）详解

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