复数与复变函数

一、复数的几何表示

学习目标

• 会求复数的模与辐角、辐角主值.
• 复数的代数表示、三角表示、指数表示要会相互转换.
• 已知一个复数方程要会判别它是什么曲线.
• 已知曲线的实数方程要会写出相应的复数方程.

1、复数的模与辐角、辐角主值

1.1、模

    在复平面上，复数 $z$ 与从原点指向点 $z=x+iy$ 的平面向量一一对应，因此复数 $z$ 能用向量来表示。向量的长度称为 $z$ 的模或绝对值，记作 $|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$

1.2、辐角

    在 $z\neq0$ 的情况下，以正实轴为初始边，以表示 $z$ 的向量为终边的角的弧度数 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角，记作
$Argz=\theta$这时有 $tan(Argz)=\frac{y}{x}$    我们知道，任何一个复数 $z\neq0$ 有无穷多个辐角. 如果 $\theta_1$是其中一个，那么 $Argz=\theta_1+2k\pi(k为任意整数)$就给出了 $z$ 的全部辐角.

1.3、辐角主值

    在 $z(\neq0)$ 的辐角中，我们把满足 $-\pi<\theta_0\leq\pi$ 的 $\theta_0$ 称为 $Argz$ 的主值，记作 $\theta_0=argz$
特别注意：当 $z=0$ 时， $|z|=0$ ，而辐角不确定.

1.4、辐角主值的计算

    在 $z\neq0$ 的情况下，辐角主值可以这样求：
$argz =\begin{cases} arctan \frac{y}{x} & x>0 \\ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{2} & x=0,y>0 \\ \ \ -\frac{\pi}{2} &x=0,y<0 \\ arctan\frac{y}{x}+\pi &x<0,y\geq0 \\ arctan\frac{y}{x}-\pi & x<0,y<0 \end{cases}$

1.5、辐角的计算

     $Argz=argz+2k\pi(k为任意整数)$

2、复数的表示

2.1、代数表示

$z=x+iy$

2.2、三角表示

    利用直角坐标与极坐标的关系： $x=rcos\theta,y=rsin\theta$，还可以把 $z$ 表示成下面的形式： $z=r(cos\theta+isin\theta)$称为复数的三角表达式.

2.3、指数表示

    再利用欧拉公式： $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，我们又可以得到 $z=re^{i\theta}$这种表示形式称为复数的指数表达式.

二、复数的乘幂与方根

学习目标

• 会用三角形式与指数形式求两个复数乘积与商
• 理解两个复数乘积的几何意义
• 会用三角形式与指数形式求复数的幂与方根

1、乘积

    定理：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们的辐角的和。
    三角形式：设有两个复数： $z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1)，z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)$那么 $z_1z_2=(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)$ $=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)$ $+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]$ $=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i(sin\theta_1+sin\theta_2)]$于是 $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ $Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2$
    指数形式：如果用指数形式表示复数： $z_1=r_1e^{i\theta_1}，z_2=r_2e^{i\theta_2}$那么可以简明的表示为： $z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta1+\theta_2)}$

2、商

    定理：两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差
    按照商的定义，当 $z_1\neq0$ 时，有 $z_2=\frac{z_2}{z_1}z_1$由复数乘积的定义，就有 $|z_2|=|\frac{z_2}{z_1}||z_1|$ $Argz_2=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Argz_1$于是 $|\frac{z_2}{z_1}|=\frac{|z_2|}{|z_1|}$ $Arg(\frac{z_2}{z_1})=Argz_2-Argz_1$
    指数形式：如果用指数形式表示复数： $z_1=r_1e^{i\theta_1}，z_2=r_2e^{i\theta_2}$那么定理可以简明地表示为 $\frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2}{r_1}e^{i(\theta_2-\theta_1)}$

3、幂

     $n$ 个相同复数 $z$ 的乘积称为 $z$ 的 $n$ 次幂，记作 $z^n$.
对于任何正整数 $n$ ,我们有 $z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)$

4、根

    当 $z$ 的值不等于零时，就有 $n$ 个不同的 $\omega$ 值与它对应. 每一个这样的值称为 $z$ 的 $n$ 次根，都记作 $\sqrt[n]{z}$,即 $\omega=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n})$其中 $k=0,1,2,···,n-1$

三、映射

学习目标

• 已知 $z$ 平面上的曲线，求在函数的映射下对应的 $w$ 平面的象
  

1、映射的概念

    如果用 $z$ 平面上的点表示自变量 $z$ 的值，而用另一个平面—— $w$平面——上的点表示函数 $w$ 的值，那么函数 $w=f(z)$ 在几何上就可以看做是把 $z$ 平面上的一个点集 $D$ (定义集合)变到 $w$ 平面上的一个点集 $G$ (函数值集合)的映射. 其中 $w$ 称为 $z$ 的象，而 $z$ 称为 $w$ 的原象.
    记 $z=x+iy，w=u+iv$ ，则 $u=u(x,y), v=v(x,y)$.

小牛试刀

$Test1$：函数 $w=\frac{1}{z}$ 把下列 $z$ 平面上的曲线映射成 $w$ 平面上怎样的曲线 $?$
   $1、 x^2+y^2=4$
    原式 $\Longrightarrow$ $(|z|=2)$ $\Longrightarrow$ $(|\frac{1}{w}|=2)$ $\Longrightarrow$ $(|w|=\frac{1}{2})$ $\Longrightarrow$ $(u^2+v^2=\frac{1}{4})$

   $2、 x=y$
     $(w=\frac{1}{z})$ $\Longrightarrow$ $(w=\frac{1}{x+iy})$ $\Longrightarrow$ $(w=\frac{x-iy}{x^2+y^2})$ $\Longrightarrow$ $(u=\frac{x}{x^2+y^2}，v=\frac{-y}{x^2+y^2})$ $\Longrightarrow$ $(u=\frac{1}{2x}，v=\frac{-1}{2x})$ $\Longrightarrow$ $(v=-u)$

   $3、 x=1$
     $(u=\frac{x}{x^2+y^2}，v=\frac{-y}{x^2+y^2})$ $\Longrightarrow$ $(u=\frac{1}{1+y^2}， v=\frac{-y}{1+y^2})$ $\Longrightarrow$ $(\frac{u}{v}=\frac{1}{-y})$ $\Longrightarrow$ $(y=\frac{-v}{u})$ $\Longrightarrow$ $(u=\frac{1}{1+(\frac{v}{u})^2})$ $\Longrightarrow$ $[(u-\frac{1}{2})^2+v^2=\frac{1}{4}]$

   $4、 (x-1)^2+y^2=1$
    原式 $\Longrightarrow$ $(|z-1|=1)$ $\Longrightarrow$ $(|\frac{1}{w}-1|=1)$ $\Longrightarrow$ $(|\frac{1-w}{w}|=1)$ $\Longrightarrow$ $(|1-w|=|w|)$ $\Longrightarrow$ $[(1-u)^2+v^2=u^2+v^2]$ $\Longrightarrow$ $(u=\frac{1}{2})$


$Test2$：已知映射 $w=z^3$ ，求：
   $1）$ 点 $z_1=i，z_2=1+i，z_3=\sqrt{3}+i$ 在 $w$ 平面上的象；
   $2）$ 区域 $0<argz<\frac{\pi}{3}$ 在 $w$ 平面上的象.
$解$：
   $1）$ $w_1={z_1}^3=-i$
       $w_2={z_2}^3=-2+2i$
       $w_3={z_3}^3=8i$
   $2）$ 根据复数的乘积定理：复数乘积的辐角等于两辐角之和
      所以 $0<w<\pi$