复变函数——学习笔记2：解析函数

复变函数的连续性

复变函数的定义与极限

定义2.1 $E$为一个复数集，如果映射 $f:E\to C$称为 $E$上单值复变函数，如果对 $E$上的每一个复数 $z$，都有多个复数 $f(z)$与之对应，则称 $f$是 $E$上的一个多值复变函数

可见复变函数与实变函数不同的是，复变函数大多具有多值性的特点，比如 $\sqrt[n]{z}$实际上有 $n$个值， $Arg z$则对应无穷个值，分别为 $\arg z+2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$。实际上，很多复变函数产生多值性的原因，是因为幅角函数具有多值性，在下一章我们会采用刺破 $z$平面或限制幅角的方式来讲多值函数分为若干单值分支，如无特殊说明，后面所讲的函数都是单值函数或多值函数的某一个单值分支。再来考察定义2.1，如果 $f(z)$的实部、虚部分别为 $u(z),v(z)$，那么， $u,v$可以视为 $z$实部和虚部 $x,y$的二元函数： $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$于是，从形式上讲，复变函数是两个二元函数，那为何引入复变函数这个概念，而不用一个二元二维的向量函数代替呢？实际上，很多情况下 $u,v$不是独立的，两者有着千丝万缕的联系，从下一节解析函数就可以清楚地看到这一点。

定义2.2 $E\subseteq C$， $f$是定义在 $E$上的单值复变函数，对 $z_0\in E$，如果存在复数 $w$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|z-z_0|<\delta,z\in E$时，都有 $|f(z)-w|<\varepsilon$则称 $f(z)$在 $z_0$处极限存在， $w$为 $f(z)$在 $z\to z_0$过程的极限，记为 $\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=w$

设 $w=u_0+v_0i$，则 $|f(z)-w|=\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}$就有 $|u-u_0|\le\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\\ |v-v_0|\le \sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\\ \sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\le |u-u_0|+|v-v_0|$可见，设 $z_0=x_0+y_0i$，实际上 $\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)=w$的充要条件是 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0\\ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0$同样地，实函数极限的很多性质也可以推广到复函数极限中，这里不再赘述。

复变函数的连续性

定义2.3 $f$在复数集 $E$上有定义， $z_0\in E$，如果 $\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$，则称 $f(z)$在 $z_0$处连续，如果 $f$在 $E$上每一点都连续，则称 $f$是 $E$上的连续函数

从这个定义就容易看出： $f$在 $z_0$处连续的充要条件是 $u,v$在 $z_0$处连续

定义2.4 $f$在复数集 $E$上有定义，如果对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $z_1,z_2\in E$，只要 $|z_1-z_2|<\delta$，就有 $|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon$则称 $f$在 $E$上一致连续

类似于实连续函数的性质，容易证明复连续函数也有如下的性质：

定理2.1 $f$是有界闭集 $E\subseteq C$上的连续函数，则
(1) $f$有界，即存在 $M>0$， $\forall z\in Z$， $|f(z)|\le M$
(2) $|f|$在 $E$上可取得最大值和最小值
(3) $f$在 $E$上一致连续

解析函数

复变函数导数与微分

复变函数的导数定义形式上和实函数是一样的

定义2.5 $f$在 $z_0$的某个邻域 $B(z_0,\delta)$上有定义，如果极限 $\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$存在，则称 $f$在 $z_0$处可导， $w$为 $f$在 $z_0$处的导数，记为 $f^\prime(z_0)$

同样地，可以定义复变函数的微分

定义2.6 $f$在 $z_0$的某个邻域 $B(z_0,\delta)$上有定义，并且在该邻域上，有 $f(z)=f(z_0)+w\Delta z + o(\Delta z)$其中 $\Delta z=z-z_0$， $w$是与 $z$无关的常复数， $o(\Delta z)$是 $\Delta\to 0$过程中 $\Delta z$的高阶无穷小，则称 $f$在 $z_0$处可微， $df=wdz$称为 $f$在 $z_0$处的微分

同数学分析中的导数和微分的关系一致，可导和可微是等价的，由此也可以看出， $f$在 $z_0$处可导蕴含了 $f$在 $z_0$处连续。

解析函数

定义2.7 $f$在区域 $D$内每一点都可导，则称 $f$在 $D$上解析，或 $f$是 $D$上的解析函数

需要注意的是，解析和区域是相关联的，说某个函数是解析函数，必须指明在哪个区域上解析，如果我们称 $f$是 $z_0$处的解析函数，等价于说 $f$是 $z_0$某个邻域上的解析函数。下面我们来探究可微的充要条件，进而就可以得出 $f$在 $D$上解析的充要条件。

如果 $f$在 $z_0$处可微，则极限 $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$存在，如果我们取 $\Delta z=\Delta x$，那么以上极限式为 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)+v(x+\Delta x,y)i-u(x,y)-v(x,y)i}{\Delta x}$由于以上极限存在，则以下两个极限都存在 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}\\ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}$同理可以证明，实部函数和虚部函数对各变元都可以求偏导，如果我们令 $\Delta z=\Delta x$，则 $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i$如果我们令 $\Delta z=i\Delta y$，则 $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i$待定系数，就得到一个偏微分方程组 $u_x^\prime=v_y^\prime,v_x^\prime=-u_y^\prime$我们称这个方程为柯西-黎曼方程（C.-R.方程），可见

定理2.2 $f=u+vi$在 $z_0$处可微的必要条件是
(1) $u,v$在 $z_0$处对各变元的偏导数存在
(2) $u,v$满足C.-R.方程

可见，复变函数并不是将两个独立的二元函数组装在一起，这两个函数是有联系的，对于可微函数而言， $u,v$的联系体现在C.-R.方程上。由此，我们就可以确定某些函数不可微。

例2.1 $f(z)=\overline{z}$在复平面上不可微，因为其在复平面上不满足C.-R.方程

但定理2.2只是一个必要条件，并不是所有偏导数存在，并且满足C.-R.方程的复变函数都可微，下面是一个反例：

例2.2 定义两个二元实函数 $\begin{aligned}&u(x,y)=v(x,y)\\=&\begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&x^2+y^2\neq 0\\ 0&x^2+y^2=0 \end{cases} \end{aligned}$则复变函数 $f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$是满足 $C.-R.$方程的，因为 $u,v$在 $(0,0)$处对各变元的偏导数都为 $0$，但 $\frac{f(z)-f(0)}{z}=\frac{ux+vy+(vx-uy)i}{x^2+y^2}$这极限是不存在的

仔细考察例2.2可知，例2.2中的 $u,v$都是不可微的，这可能是使得 $f$不可微的根源。

定理2.3 $f=u+vi$在 $z_0=x_0+y_0i$处可微的充要条件是
(1) $u,v$在 $(x_0,y_0)$处可微
(2) $u,v$满足 $C.-R.$方程

证：
必要性的证明：只要证明如果 $f$在 $z_0$处可微， $u,v$在 $(x_0,y_0)$处可微。
首先，如果 $f$在 $z_0$处可微，则 $u,v$在 $(x_0,y_0)$处满足 $C.-R.$方程，设 $u_x^\prime=v_y^\prime=\alpha\\ v_x^\prime=-u_y^\prime=\beta$则 $f^\prime(z_0)=\alpha+\beta i$，在 $z_0$的某个邻域上，有 $f(z)=f(z_0)+(\alpha+\beta i)(\Delta x+i\Delta y)+a+bi$其中 $a,b$是 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$在 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to 0$过程中的高阶无穷小，整理以上式子，就有 $\begin{aligned} \Delta u+i\Delta v=\alpha\Delta x-\beta \Delta y+a+(\beta \Delta x+\alpha\Delta y+b)i \end{aligned}$比较等式左右两边的实部和虚部就可以得出 $u,v$在 $(x_0,y_0)$处可微的结论。
充分性的证明：再设 $u_x^\prime=v_y^\prime=\alpha\\ v_x^\prime=-u_y^\prime=\beta$并且 $u,v$在 $(x_0,y_0)$处可微，则在 $(x_0,y_0)$的某个邻域上，成立 $\Delta u=\alpha\Delta x- \beta\Delta y+a\\ \Delta v=\beta \Delta x+\alpha\Delta y+b$ $a,b$是 $|z|$的高阶无穷小，则 $\begin{aligned} &\Delta u+i\Delta v=\alpha\Delta x-\beta \Delta y+a+(\beta \Delta x+\alpha\Delta y+b)i\\=&(\alpha+\beta i)(\Delta x+i\Delta y)+a+bi \end{aligned}$于是 $f$可微

推论2.1 如果 $f=u+vi$在 $z_0=x_0+y_0i$的某个邻域上有定义，并且
(1) $u,v$在 $(x_0,y_0)$的某个邻域上连续可微
(2) $u,v$在 $(x_0,y_0)$处满足 $C.-R.$方程
则 $f$在 $z_0$处可微

由此可以得出 $f$在区域 $D$上解析的充要条件和充分条件

推论2.2 $f=u+vi$在区域 $D$上有定义，则 $f$在 $D$上解析的充要条件是
(1) $u,v$在 $D$上可微
(2) $u,v$在 $D$上满足 $C.-R.$方程

推论2.3 $f=u+vi$在区域 $D$上有定义，则 $f$在 $D$上解析的充分条件是
(1) $u,v$在 $D$上连续可微
(2) $u,v$在 $D$上满足 $C.-R.$方程

因此，看一个函数是否在某点可微或是否在某个区域解析，一看是否可微，二验证是否满足 $C.-R.$方程即可。

导数的运算性质

最后我们来给出导数的运算性质，这些运算性质和实函数导数的运算性质是极其类似的。

定理2.4 $f,g$在 $z_0$处可导，则
（1） $f\pm g$在 $z_0$处可导，并且 $(f\pm g)^\prime=f^\prime\pm g^\prime$
（2） $fg$在 $z_0$处可导，并且 $(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime$
（3）若 $g(z_0)\neq 0$，则 $f/g$在 $z_0$处可导，并且 $(\frac{f}{g})^\prime=\frac{f^\prime g-g^\prime f}{g^2}$

定理2.5 $w=f(z)$在 $z_0$处可导， $u=g(w)$在 $w_0=f(z_0)$处可导，则 $u=g(f(z))$在 $z_0$处可导，并且 $[g(f(z_0))]^\prime=f^\prime(z_0)g^\prime(w_0)$

证明和实函数也是类似的，这里不再赘述

例2.3 （复变函数的洛必达法则） 若 $f(z),g(z)$在 $z_0$处解析，且 $f(z_0)=g(z_0)=0,g^\prime(z_0)\neq 0$则 $\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^\prime(z_0)}{g^\prime(z_0)}$

证：
首先，由于 $g^\prime(z_0)\neq 0$，在 $z_0$的某个去心邻域上 $g(z)\neq 0$，因此，在该去心邻域上 $\frac{f(z)}{g(z)}$是有意义的。
其次，当 $z\neq z_0$，并且在上述的去心邻域内，就有 $\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f(z)-f(z_0)}{g(z)-g(z_0)}=\frac{\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}{\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}}$令 $z\to z_0$即可证得结论

例2.4 证明在极坐标下，函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的 $C.-R.$方程为 $\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\frac{\partial u}{\partial \theta}=-r\frac{\partial v}{\partial r}$

证：作极坐标变换 $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}$后将 $u,v$变换为 $u(x,y)=u(r,\theta)\\ v(x,y)=v(r,\theta)$则 $u_r^\prime=u_x^\prime\cos\theta+u_y^\prime\sin\theta\\ v_\theta^\prime=-rv_x^\prime\sin\theta+rv_y^\prime\cos\theta$利用 $C.-R.$方程可以得到 $ru_r^\prime=v_\theta^\prime$另一个等式的证明类似

例2.5 设实函数 $u(x,y)$对各变元有偏导数，则令 $z=x+iy$，则 $u$可以写成 $z,\overline{z}$的函数 $u=u(\frac{z+\overline{z}}{2},\frac{z-\overline{z}}{2i})$如果将 $z,\overline{z}$形式地视为是实数，如果实函数对实变元求偏导一样，就可以定义 $\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y})\\ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y})$则 $C.-R.$方程可以写成 $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}+i\frac{\partial v}{\partial \overline{z}}=0$