复变函数：第四章——级数

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级数相关内容

1. 无穷级数：无穷项之和，近似于部分和序列的极限
2. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n \to\infty}S_n$
3. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛 $\Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_n = 0​$（反之不一定成立）
4. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛，$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛（反之不一定成立）
5. 改变级数的有限项，不会影响收敛性
6. 若$\sum|a_n|$收敛，则称$\sum a_n$绝对收敛
7. 若$\sum|a_n|$发散，$\sum a_n$收敛，则称$\sum a_n$条件收敛

复数项级数

复数序列的极限

1. 复数序列$\{a_n\}$：$\alpha_1 = a_1 + ib_1, \alpha_2 = a_2 + ib_2,... \alpha_n = a_n + ib_n$
2. 设$\{a_n\}$为一个复数序列，$\alpha = a + ib$为一个确定的复数，若对于任意给定的$\xi > 0$，相应地存在一个正数$N = N(\xi)$，当$n > N$时，都有$|\alpha_n - \alpha| < \xi$成立，则称$\alpha$为复数列$\{\alpha_n\}$当$n \to \infty$时的极限，记做$\lim_{n \to \infty}\alpha_n = \alpha$，也被称为复数序列$\{a_n\}$收敛于$\alpha$（唯一）
3. 定理一：令$\alpha_n = a_n + ib_n, \alpha = a + ib$，则$\lim_{n\to \infty} \alpha_n = \alpha \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} a_n = a, \lim_{n\to \infty} b_n = b$

复数项级数

1. 定义3：设$\{a_n\}$为一复数列，表达式$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_2 + ... + \alpha_n + ...$称为无穷级数，记做$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$
2. 定义4：无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$的前几项和$S_n = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_2 + ... + \alpha_n$称为级数的部分和
3. 定义5：如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$的部分和数列$\{S_n\}$收敛，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$收敛，$\lim_{n\to \infty} S_n = S$，称为级数的和；若数列$\{S_n\}$不收敛，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$称为发散
4. 几个要注意的定义：
   
   1. 级数收敛 $\Leftrightarrow$ $\lim_{n\to \infty} \alpha_n = 0$ $\Leftrightarrow$ $\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \alpha_n = S$ $\Leftrightarrow$ $\lim_{n\to \infty} S_n = S$ $\Leftrightarrow$ 级数的部分和数列收敛
   2. 收敛时，级数的和=级数的值，都是唯一的
5. 定理二：级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$ 收敛 $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛
6. 定义6：复数项级数的绝对收敛和条件收敛
7. 推论：级数$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$绝对收敛 $\Leftrightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n$绝对收敛
8. 若$\sum\alpha_n, \sum\beta_n$收敛 $\Rightarrow$ $\sum(\alpha_n + \beta_n)$收敛

幂级数

复变函数项级数的概念

1. 定义1：设$\{f_n(z)\}(n=1,2,...)$为一复变函数序列，其中各项在区域$D$中有定义，则表达式$f_1(z) + f_2(z) + ... + f_n(z) + ...$称为复变函数项级数，记做$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$
2. 定义2：$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$的最前面$n$项的和$S_n(z) = f_1(z) + f_2(z) + ... + f_n(z)$称为此级数的部分和
3. 定义3：若对于$D$内某一点$Z_0$，极限$\lim_{n \to \infty}S_n(z_0) = S(z_0)$存在，那么称函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在点$z_0$收敛，而$S(z_0)$称为数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z_0)$的和
4. 定义4：如果复变函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$D$内处处收敛，则有$\lim_{n\to \infty}S_n(z) = S(z), z \in D$，$S(z)$称为函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$的和函数

幂级数的概念

1. 定义4：形如$\sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n = C_0 + C_1(z-z_0) + C_2(z-z_0)^2 + ... + C_n(z-z_0)^n + ...$或$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n = C_0 + C_1z + C_2z^2 + ... + C_nz^n + ...$的函数项级数称为幂级数
2. 定理一（Abel 阿贝尔定理）：如果幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$在$z = z_0 \ne 0$收敛，则对于满足$|z| < |z_0|$的$z$，级数绝对收敛；如果幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$在$z = z_0 \ne 0$发散，则对于满足$|z| < |z_0|$的$z$，级数必发散

幂级数的收敛半径和收敛圆

1. 如果幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$不仅在$z= 0$收敛，而不是在整个复平面上都收敛，则可设当$z = \alpha$时，级数收敛；当$z = \beta$时，级数发散，则有$|\alpha| < |\beta|$

2. 如果幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$不是仅在$z = 0$处收敛，也不是在整个复平面上收敛，则必有一个整数$R$，当$|z| < R$时绝对收敛；当$|z| > R$时发散；当$|z| = R$时不确定；$R$称为幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$的收敛半径，$|z| = R$称为收敛圆

3. 收敛半径的求法：

   根值法：若$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|C_n|} = \lambda \ne 0$，则$R = \frac{1}{\lambda}$；

   比值判定法：若$lim_{n \to \infty} \frac{C_{n+1}}{C_n} = \lambda$，则$R = \frac{1}{\lambda}$

4. 收敛域为开区域，不包括边界情况

eg：

求$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}4^{-|n|}(z-1)^n$的收敛域

对于正幂部分：$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}4^{-n}(z-1)^n$，由根值法：$|\frac{z-1}{4}| < 1 \to |z-1|<4$

对于负幂部分：$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{4(z-1)}, [\frac{1}{4(z-1)}] \to 0$

$\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \frac{1}{4|z-1|} < 1 \Rightarrow |z-1| > \frac{1}{4}$

幂级数的运算和性质

1. 设$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \cdot z^n, |z| < r_1; g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}b_n \cdot z^n, |z| < r_2$

   则$f(z) \pm g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(a_n \pm b_n) \cdot z^n, |z| < R, R = min\{r_1, r_2\}$

   $f(z) \cdot g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(a_n \cdot b_0 + a_{n-1} \cdot b_1 + a_{n-2} \cdot b_2 + ... + a_{0} \cdot b_n) \cdot z^n, |z| < R, R = min\{r_1, r_2\}$

2. 定理四：设$\sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n$收敛半径为$R$，则

   1. 和函数$f(z) = \sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n$是收敛圆：$|z-z_0| < R$内的解析函数
   2. 在收敛圆：$|z-z_0| < R$内，$f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n\cdot C_n(z-z_0)^{n-1}$
   3. 在收敛圆：$|z-z_0| < R$内，$\int_{C}f(z)dz = \sum_{n=0}^\infty C_n \int_{C} (z-z_0)^{n}dz$，C是收敛圆内的任意一条有向光滑曲线

3. 解析函数：在区域内处处可微分的函数，即没有奇点，没有导数无穷大的点

4. 和函数 = 导数的和

泰勒级数

柯西积分公式

1. 设幂级数$\sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n$的收敛半径为$R$，它的和函数$f(z) = \sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n$是收敛圆：$|z-z_0| < R$内的解析函数；

   反之，若$f(z)$是圆内$|z-z_0| < R$内的解析函数，则：$f(z)$能否表示为幂级数

2. 柯西积分公式：设$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0$为$D$上一点，$C$为$D$内包围$z_0$的任意一条正向简单闭围线，它的内部完全包含$D$，则：$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

3. 推广：设$f$在一条正向的简单闭围线$C$及其内部的所有点上解析，若$z_0$是$C$内的任意一点，则$f^n(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$

解析函数的泰勒展开式

1. 定理：若$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0$为$D$内一点，$d$为$z_0$到$D$的边界的各点的最短距离，则$f(z) = \sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n, |z-z_0| < d$，其中，$C_n = \frac{f^n(z_0)}{n!}$（唯一的，给出了圆域内解析函数的一个解析表达式）
2. 已知$\sum_{n=0}^\infty C_nz^n$收敛半径$R$，则在$|z| = R$上必有奇点
3. 解法：
   
   • 使用常用的展开式
   • 判断是否为某个数的导数或积分
   • 公式

常用的展开式

$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z_n$

$\frac{1}{1+z} = \frac{1}{1-(-z)} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nz_n$

$sinz = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)^n} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + ... + (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...$

$cosz = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)^n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + ... + (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} + ...$

$(sinz)^n = sin(z + n \cdot \frac{\pi}{2})$

$(sinz)^n|_{z = 0} = sin(\frac{n\pi}{2}) = \begin{cases}(-1)^k & n = 2k+1 \\0 & n = 2k \end{cases}$

eg：

求$f(z) = \frac{1}{(1+z)^2}$的Tayer级数

$\because \frac{1}{1+z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \cdot z^n$

$\therefore \frac{1}{(1+z)^2} = -(\frac{1}{1+z})' = -\sum_{n=0}^{\infty}[(-1)^n \cdot (z^n)]' = -\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot n \cdot z^{n-1}$

eg：

求$ln(1+z)$在$z = 0$处的泰勒展开式

$\frac{dln(1+z)}{dz} = \frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot z^n$

$ln(1+z) = \int_{0}^{z} \frac{dln(1+z)}{dz} dz$

$\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space = \int_0^n \frac{1}{1+z} dz$

$\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space = \int_{0}^n [\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n]d$

$\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \int_{0}^n z^n dz$

$\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{z^{n+1}}{n+1}$

函数在一点解析的等价定义

$\space \space \space \space \space \space f(z)$在$z_0$处解析

$\Leftrightarrow f(z)$在点$z_0$的某邻域$U: |z-z_0| < R$内解析

$\Leftrightarrow f(z)$在$|z-z_0| < R$内可展开为关于$z-z_0$的幂级数$f(z) = \sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n, |z-z_0| < R$

洛朗级数

问题的提出

1. 把$f(z) = \frac{1}{z-2}$展开成$z-1$的幂级数

$\frac{1}{z-2} = \frac{1}{1-(z-1)}, |z-1| < 1$，故$\frac{1}{z-2} = -\sum_{n=0}^{+\infty}(z-1)^n$

1. 再看$f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}$不能展开成$z-1$的幂级数，因为$f(z)$在$z-1$处不解析

   但是$f(z)$在除了$z=1$的环形域上解析，因此有没有更弱的表示法？

   $f(z) = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{z-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n - (z-1)^{-1}, (0 < |z-1| < 1)$，

   我们称其为洛朗级数，负整数幂 + 正整数幂

洛朗级数

1. 令$w = (z-z_0)^{-1}$，则$\sum_{n=1}^{+\infty} \beta_{-n}(z-z_0)^{-n} = \beta_{-1} \cdot w + \beta_{-2} \cdot w^2 + ... + \beta_{-n} \cdot w^n + ...$关于$w$的幂级数，设这个幂级数的收敛半径为$R$

   若$0 < R < +\infty$，则$|w| < R$内该级数绝对收敛；在$|w| > R$发散

2. 更一般的，考虑级数，$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\beta_n (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}\beta_n (z-z_0)^n + \sum_{n=-\infty}^{-1}\beta_n (z-z_0)^n$

3. 收敛为两个都收敛，发散为任意一个发散

洛朗展开式

定理：设$f(z)$在圆环$D$：$R_1 < |z-z_0| < R_2$内解析，则在$D$：$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$

$a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(\delta)}{(\delta - z_0)^{n+1}}d\delta$，其中$\gamma$为圆周$|z-z_0| < \rho, (R_1 < \rho < R_2)$（也可以是任意闭区域）