实变函数(高等数学)主要内容:
复变函数:
- 研究对象:自变量为复数的函数
- 主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系,具体地就是复数域上的微积分
- 主要内容:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。
一、复数基本知识
1.1 复数基本概念
对任意两实数x, y,称
z=x+iy或
z=x+yi为复数,其中
i2=−1,i称为虚部
复数z的实部Re(z)=x,虚部Im(z)=y
复数的模:
∣z∣=x2+y2
≥0
复数相等:
z1=z2⟺x1=x2,y1=y2,其中
z1=x1+iy1,z2=x2+iy2
z=0⟺Re(z)=Im(z)=0
一般两个复数不能比较大小。
1.2 共轭复数
若
z=x+iy,称
z=x−iy为z的共轭复数。
1.3 几何表示
1.3.1 可以用点来表示:
z=x+iy⟺复平面上的点
P(x,y)
复平面上横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴。
1.3.2 可以用向量来表示:
z=x+iy⟺P(x,y)⟺OP
={x,y}
可以用向量
OP
来表示
z=x+iy
复数的模:向量的长度
∣z∣=∣OP
∣=x2+y2
复数的幅角:向量与正实轴之间的夹角
θ=Argz=(OP
,x)
tan(Argz)=xy
当z=0时,幅角无意义
幅角是无穷多的:
Argz=θ=θ0+2kπ
满足
−π<θ0<π的
θ0称为幅角
Argz的主值,记作:
θ0=Argz
1.3.3 可以用三角来表示:
用复数的模与幅角来表示非零复数z
由
{x=rcosθy=rsinθ得:
z=r(cosθ+isinθ)
1.3.4 用指数表示
由欧拉公式:
eiθ=cosθ+isinθ可得非零复数z的指数表达式:
z=reiθ
1.2 复数的乘幂与方根
1.2.1 复数的乘积与熵
利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:
定理:设
z1,z2是两个非零复数:
z1=∣z1∣(cosArgz1+isinArgz1)=∣z1∣ei(Argz1)
z2=∣z2∣(cosArgz2+isinArgz2)=∣z2∣ei(Argz2)
则:
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)
∣z2z1∣=∣z2∣∣z1∣(z2=0),Arg(z2)z1=Arg(z1)−Arg(z2)
乘法的几何意义:将复数
z1按逆时针方向旋转一个角度Arg(z_2),再将其伸缩到|z_2|倍。
1.2.2 复数的乘幂
n个相同复数z的乘积称为z的n次幂:
zn
zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)
特别地:当
∣z∣=r=1时,
zn=(cosnθ+isinnθ),此时有:
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
这个公式称为De Moivre公式
令
z−n=zn1,则:
z−n=r−n(cos(−nθ)+isin(−nθ))=r−ne−inθ
1.2.3 复数的方根
设
z=reiθ为已知复数,n为正整数,则称满足方程
wn=z的所有w值为z的n次方根,记为
w=nz
https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html
二、欧拉公式:
令
i=−1
,欧拉公式为:
eix=cosx+isinx
欧拉公式的推导用到了泰勒展开,至于
eix为什么可以泰勒展开需要证明,这里忽略:
eix=1+ix+2!(ix)2+3(ix)3+4!(ix)4+5!(ix)5+6!(ix)6+...
=1+ix−2!x2−3!ix3+4!x4+5!ix5−6!x6
=(1−2!x2+4!x4−6!x6+...)+i(x−3!x3+5!x5−...)
=cosx+isinx
欧拉公式的一个变形:
eix=cosx+isinx
e−ix=cosx−isinx
相加相减可以得到:
sinx=2ieix−e−ix
cosx=2eix+e−ix
三、复变函数的导数
3.1 导数的定义
3.2 求导公式与法则(实函数中求导法则的推广)
- 常数的导数
c′=(a+ib)′=0
-
(zn)′=nzn−1(n是自然数)
- 设函数
f(z),g(z)均可导,则:
[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)
[g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z)(g(z)=0)
- 复合函数的导数:
f[g(z)]′=f′(g(z))g′(z)
- 反函数的导数:
f′(z)=ϕ′(w)1,其中:
w=f(z),与
z=ϕ(w)互为单值的反函数,且
ϕ′(w)=0
注意:
- 复变函数在一点处可导,要比实函数在一点处可导要求高得多,也复杂得多,这是因为
△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
- 在高等数学中要举出一个处处连续,但处处不可导的例题是狠苦难的,但在复变函数中,却轻而易举
3.3 可导与连续
四、解析函数
4.1 定义
4.2 定理
4.3 解析函数的充要条件
https://wenku.baidu.com/view/532c39681eb91a37f1115c77.html
复变函数基本初等函数