复变函数——学习笔记1：复数及复平面

复数域

复数：形如 $z=x+yi$的数， $i$称为虚数单位， $i^2=-1$， $x$称为实部，记为 $Re(z)=x$， $y$称为虚部，记为 $Im(z)=y$。
复数相等：当且仅当两个复数实部和虚部对应相等
虚数：虚部不为的0的复数
纯虚数：实部为0的虚数
复数运算：复数的加减法定义为实部和虚部对应相加减，复数的乘法按照多项式法则进行， $z_1=a+bi,z_2=c+di$，则 $z_1z_2=ac-bd+(ad+bc)i$
除法定义为乘法的逆运算，首先
$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ $z_1=a+bi,z_2=c+di,z_2\neq0$，则 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1(c-di)}{z_2(c-di)}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
实数域的运算规律复数域也成立
(1)加法交换律： $z_1+z_2=z_2+z_1$
(2)加法结合律： $z_1+z_2+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
(3)存在零元： $z+0=z$
(4)存在相反元： $z+(-z)=0$
(5)乘法交换律： $z_1z_2=z_2z_1$
(6)乘法结合律： $z_1z_2z_3=z_1(z_2z_3)$
(7)乘法分配律： $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$
(8)存在单位元: $1.z=z$
(9)存在逆元: $z\neq 0,z.\frac{1}{z}=1$
引入上述的运算，再辅以以上的运算规律后，全体复数构成复数域，用字母 $C$表示

复平面

一个复数与一个实数对一一对应，从而复数与二维平面上的点构成一一对应的关系，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴，这样表示复数 $z$的平面称为复平面
引入复平面的意义在于建议数和点的联系，从而可以借助几何直观或几何术语来研究复变函数，复数也常常用于解决许多平面上的问题。

复数的模：我们把复数 $x+yi$对应复平面上的向量 $(x,y)$的长度 $\sqrt{x^2+y^2}$称为复数的模，记为 $|x+yi|$
复数的幅角：若 $z=x+yi\neq 0$，我们把满足 $\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的所有 $\theta$称为复数 $z$的幅角，记为 $Arg(z)$，显然这样的 $\theta$有无穷多个，满足 $-\pi<\theta\le \pi$的幅角称为主幅，或称幅角的主值，记为 $\arg (z)$，下图表示这两个概念的几何意义：

容易验证，复数的模满足性质： $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$。
共轭复数： $z=x+yi$，则 $z$的共轭复数定义为 $\overline{z}=x-yi$，显然 $z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2$容易验证共轭复数有如下性质 $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}$
复数的除法： $z_2\neq 0$，则 $\frac{z_1}{z_2}$为 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}$复数的三角形式：有了复数的模 $r=|z|$和幅角 $\theta=Arg z$，则复数可以表示为 $z=r\cos\theta+r\sin\theta i$相当于把复数写成极坐标的形式
复数的指数形式：定义欧拉公式为 $e^{\theta i}=\cos\theta+\sin\theta i$，则复数又可以写成指数形式 $z=|z|e^{Arg z .i}$实际上，这种形式对计算复数的乘法起到很大的作用 $\begin{aligned} &e^{\theta_1 i}.e^{\theta_2 i}=(\cos\theta_1+\sin\theta_1i)(\cos\theta_2+\sin\theta_2i)\\ =&\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+(\cos\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_2\sin\theta_1)i\\ =&\cos(\theta_1+\theta_2)+\sin(\theta_1+\theta_2)i=e^{(\theta_1+\theta_2)i} \end{aligned}$也就是说，欧拉公式保留了实数域上指数的性质，要计算 $z_1z_2$，将 $z_1,z_2$写成指数形式 $z_1=r_1e^{\theta_1i},z_2=r_2e^{\theta_2i}$则 $z_1z_2=r_1r_2e^{\theta_1i}e^{\theta_2i}=(r_1r_2)(e^{\theta_1i}e^{\theta_2i})=(r_1r_2)e^{(\theta_1+\theta_2)i}$有了欧拉公式，复数的共轭复数也可以很方便地表示出来 $e^{-\theta i}=\cos\theta-\sin\theta i=\overline{e^{\theta i}}$则 $\frac{r_1e^{\theta_1i}}{r_2e^{\theta_2i}}=\frac{r_1e^{\theta_1i}e^{-\theta_2i}}{r_2} =\frac{r_1e^{(\theta_1-\theta_2)i}}{r_2}$由以上的表示法，可以看出，复数乘法的本质是：对复数进行伸缩和旋转变换，旋转变换体现在乘以 $e^{\theta_2i}$上，伸缩变换体现在乘以 $r_2$上。
复数的三角不等式： $|x+y|\le |x|+|y|$
棣莫弗公式： $(\cos\theta+\sin\theta.i)^n=\cos (n\theta)+\sin (n\theta) i$
这结合复数的指数形式及数学归纳法容易证明。

例1.1（棣莫弗公式证明三角恒等式）证明 $\sum_{k=0}^n\cos k\theta=\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$

证：
$e^{k\theta i}=\cos k\theta+i\sin k\theta$则 $\sum_{k=0}^ne^{k\theta i}=\frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}}=\sum_{k=0}^n\cos k\theta+i\sum_{k=0}^n\sin k\theta$则 $Re(\frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}})=\sum_{k=0}^n\cos k\theta$而 $\begin{aligned} &\frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}}=\frac{\sin^2\frac{(n+1)\theta}{2}-\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}.i}{\sin^2\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}.i}\\ =&\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}e^{-\frac{(n+1)\theta i}{2}}}{\sin\frac{\theta}{2}e^{-\frac{\theta i}{2}}}=\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}e^{-\frac{n\theta}{2}}}{\sin\frac{\theta}{2}} \end{aligned}$因此 $\sum_{k=0}^n\cos k\theta=\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$

例1.2 求方程 $z^n=1$的根

解：
首先由 $z^n=1$，就有 $|z|^n=1$，故 $|z|=1$，设 $e^{\theta i}$为方程的根，则 $e^{n\theta i}=1$则可以推出 $n\theta = 2k\pi,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$则方程的根为 $e^{\frac{2k\pi}{n}}(k=0,1,\cdots,n-1)$这 $n$个根的几何意义为 $(0,1)$逆时针旋转 $\frac{2\pi}{n}$，旋转 $n-1$次得到的向量，这 $n$个根将单位圆 $n$等分。

例1.3 求方程 $z^n=z_0$的根

解：
设 $z_0=re^{\theta i}$， $z=\rho e^{\gamma i}$，则 $z^n=\rho^ne^{n\gamma i}$，因此 $\begin{aligned} r=&\rho^n\\ n\gamma=&\theta+2k\pi(k=0,\pm1,\cdots) \end{aligned}$则 $\begin{aligned} \rho=&\sqrt[n]{r}&\\ \gamma =& \frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}(k=0,\pm1,\cdots) \end{aligned}$在复数域，对某一个复数 $z_0$进行开根，首先，将 $z_0$的模开 $n$次方根，其次，选定一个幅角 $Arg z_0=\theta$，将其除以 $n$，得到其中一个根，将其依次逆时针旋转 $\frac{2\pi}{n}$,旋转 $n-1$次，就可以得到其他 $n-1$个根，所有的根为 $\sqrt[n]{r}e^{(\frac{Arg z_0}{n}+\frac{2k\pi}{n})i}(k=0,\cdots,n-1)$其几何意义如下，如开六次方根，只要选定一个幅角，确定了其中一个根后，其次旋转就可以得到其他根，所有根将单位元六等分。

例1.4 利用 $(z+1)^n=1$的 $n-1$个非零根的乘积，证明 $\prod_{k=1}^n\sin{\frac{k\pi}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}$

证：
$(z+1)^n=1$的 $n$个根为 $z_k=e^{\frac{2k\pi}{n}}-1(k=1,\cdots,n)$，其中 $z_1=0$，则由二项式定理，有 $(z+1)^n-1=z^n+\cdots+nz=z(z-z_2)\cdots(z-z_n)$故 $(-1)^{n-1}\prod_{k=2}^nz_k=n$而对 $k=2,\cdots,n$，有 $z_k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}-1=-2\sin^2(\frac{k\pi}{n})+2\sin(\frac{k\pi}{n})\cos(\frac{k\pi}{n})i$就得到 $\begin{aligned} &(-1)^{n-1}\prod_{k=2}^{n}z_k=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})\prod_{k=1}^{n-1}[\sin(\frac{k\pi}{n})-\cos(\frac{k\pi}{n})i]=n \end{aligned}$故 $\left|2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})\prod_{k=1}^{n-1}[\sin(\frac{k\pi}{n})-\cos(\frac{k\pi}{n})i]\right|=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=n$即可证得不等式

例1.5 （复数域上的柯西不等式）设 $z_1,\cdots,z_n,\omega_1,\cdots,\omega_n\in C$.证明拉格朗日等式： $\left|\sum_{j=1}^nz_j\omega_j\right|^2=(\sum_{j=1}^n|z_j|^2)(\sum_{j=1}^n|\omega_j|^2) -\sum_{1\le j<k\le n}\left|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}\right|^2$由此证明柯西不等式： $\left|\sum_{j=1}^nz_j\omega_j\right|^2\le (\sum_{j=1}^n\left|z_j\right|^2)(\sum_{j=1}^n\left|\omega_j\right|^2)$

证：
令 $z=(z_1,\cdots,z_n)^T,\omega=(\omega_1,\cdots,\omega_n)^T$，则 $\left|\sum_{j=1}^nz_j\omega_j\right|^2=\sum_{j=1}^nz_j\omega_j\overline{(\sum_{j=1}^nz_j\omega_j)}=z^Tw\overline{w^T}\overline{z}=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^nz_k\omega_k\overline{\omega_j}\overline{z_j}$对于 $j<k$，有 $\begin{aligned} &|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}|^2=(z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j})\overline{(z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j})}\\ =&(z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j})(\overline{z_j}\omega_k-\overline{z_k}\omega_j)\\ =&z_j\overline{z_j}\overline{\omega_k}\omega_k+z_k\overline{z_k}\overline{\omega_j}\omega_j-z_j\omega_j\overline{\omega_kz_k}-z_k\omega_k\overline{\omega_jz_j} \end{aligned}$因此 $\begin{aligned} &z_j\omega_j\overline{\omega_kz_k}+z_k\omega_k\overline{\omega_jz_j}\\ =&|z_j|^2|\omega_k|^2+|z_k|^2|\omega_j|^2-|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}|^2 \end{aligned}$于是 $\begin{aligned} &\left|\sum_{j=1}^nz_j\omega_j\right|^2=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^nz_k\omega_k\overline{\omega_j}\overline{z_j}=\\=&\sum_{k=1}^n|z_k|^2|\omega_k|^2+\sum_{1\le j<k\le n}(|z_j|^2|\omega_k|^2+|z_k|^2|\omega_j|^2-|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}|^2)\\ =&\sum_{k=1}^n|z_k|^2|\omega_k|^2+\sum_{k=1}^n\sum_{j\neq k,1\le j\le n }|z_k|^2|\omega_j|^2-\sum_{1\le j<k\le n}|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}|^2\\ =&\sum_{k=1}^n|z_k|^2\sum_{j=1}^n|\omega_j|^2-\sum_{1\le j<k\le n}|z_j\overline{\omega_k}-z_k\overline{\omega_j}|^2 \end{aligned}$这就证得了拉格朗日等式，由拉格朗日等式容易得到柯西不等式

例1.6（复数的几何应用：曲线的复数方程） 证明： $z$平面上的直线方程可以写成 $a\overline{z}+\overline{a}z=c$其中 $a$是非零复常数， $c$是实常数

证：
平面上的直线方程为 $\alpha x+\beta y+c=0$，令 $a=\alpha+\beta i$， $z=x+yi$，则容易验证 $\frac{a\overline{z}+\overline{a}z}{2}+c=0$

复球面

现在，我们在复平面的基础上再加一个维度，复平面位于 $Oxy$平面，做单位球面 $S:x^2+y^2+z^2=1$，连接球面的北极 $N(0,0,1)$及复平面上一点 $A$，交球面于另一点 $A^\prime$，这样，我们可以建立复平面到球面的一个映射：
$\begin{aligned}f:&Oxy&\to &S\\ &A&\mapsto&A^\prime \end{aligned}$再记北极点为 $\infty$， $C_\infty=C\cup \{\infty\}$称为扩充复平面， $f$是 $C_\infty$到单位球面的一一映射。对于任意的 $z=x+yi\in C$，如果 $|z|=1$，映射到球面上是位于赤道线上，坐标为 $(x,y,0)$。如果 $|z|\neq 1$，则映射到球面上的位置是上半球面或下半球面。对 $AA^\prime=(x^\prime-x,y^\prime-y,z^\prime)$， $AN=(-x,-y,1)$，由于两个空间向量共线，则有 $\begin{cases} xy^\prime-yx^\prime=0\\ x^\prime+xz^\prime=x\\ y^\prime+yz^\prime=y \end{cases}$方程组的通解为 $(kx,ky,1-k)$，再由 $A^\prime$位于单位球面上，解得 $k=0$或 $k=\frac{2}{x^2+y^2+1}$，令 $k=\frac{2}{x^2+y^2+1}$，代入，就可以得到 $A^\prime$的坐标 $(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1})$。对于复数 $z$，其在复球面的坐标为 $(\frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1},\frac{z-\overline{z}}{|z|^2+1},\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1})$
对于扩充复平面，我们规定：
(1) $\alpha\pm \infty=\infty\pm \alpha=\infty$，其中 $\alpha$为有限复数
(2) $\alpha \infty=\infty\alpha=\infty$，其中 $\alpha\neq 0$
(3) $\alpha/\infty=0$( $\alpha\neq \infty$), $\alpha/0=\infty$( $\alpha\neq\infty$)
(4) $\infty\pm\infty$, $0.\infty$, $\infty.0$, $0/0$, $\infty/\infty$均无意义

复平面上的拓扑

复平面上的拓扑均可以平行于 $R^2$建立起来，我们下面列举复平面和扩充复平面上的拓扑（证明和欧式空间是类似的，因此不给出证明），需要注意的是，扩充复平面上的有些概念和复平面上略有不同，需要加以区分。

邻域：对复数 $z_0$及正数 $\delta>0$，称集合 $B(z_0,\delta)=\{z:|z-z_0|<\delta\}$为 $z_0$的半径为 $\delta$的邻域

点列极限： $\{z_n\}$是一列复数，如果存在复数 $z_0$，如果对于任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，都有 $|z_n-z_0|<\varepsilon$则称 $\{z_n\}$收敛， $z_0$是 $\{z_n\}$的极限，记为 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$
如果记 $z_n=x_n+y_ni(n=1,2,\cdots),z_0=x_0+y_0i$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$的充要条件是 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x_0,\lim_{n\to\infty} y_n=y_0$

点与点集的关系：对 $E\subset C$及点 $z_0$
(1) $\exists\delta>0,B(z_0,\delta)\subseteq E$，则称 $z_0$为 $E$的内点，全体内点的集合称为 $E$的内部，记为 $E^\circ$
(2) $\exists\delta>0,B(z_0,\delta)\subseteq E^c$，则称 $z_0$为 $E$的外点，全体外点的集合称为 $E$的外部
(3) $\forall \delta>0,B(z_0,\delta)\cap E\neq \emptyset,B(z_0,\delta)\cap E^c\neq \emptyset$，则称 $z_0$为 $E$的边界点，全体 $E$的边界点记为 $\overline{E}$

开集： $E$的每一点都是其内点，则称 $E$是开集， $C,\emptyset$都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集

闭集：开集的余集是闭集， $C,\emptyset$都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集

聚点：如果 $z_0$的任意邻域都有 $E/\{z_0\}$的点，则称 $z_0$是 $E$的聚点，如果 $z_0$是 $E$的聚点，则存在点列 $\{z_n\}\subseteq E/\{z_0\}$，满足 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$，称 $E$的全体聚点构成的集合为 $E$的导集，记为 $E^\prime$

闭包： $E$和其导集的并集称为 $E$的闭包，记为 $\overline{E}$，任何集合的闭包都是闭集，并且 $\overline{E}=E^\circ\cup\partial E$

连通集：如果对 $E$内任意两点 $z_1,z_2$，都有完全包含在 $E$内的连接 $z_1,z_2$两点的折线，则称 $E$是连通集

区域：连通的开集称为区域，区域的闭包称为闭区域

连续曲线： $z=z(t)=x(t)+y(t)i,\alpha\le t \le\beta$，如果 $x(t),y(t)$都是 $[\alpha,\beta]$上的连续函数，则称 $z=z(t),\alpha\le t\le \beta$是复平面上的一条连续曲线

简单曲线（若尔当曲线）：如果连续曲线 $z=z(t),a\le t\le b$没有重合点，则称 $z=z(t)$为简单曲线，如果 $z=z(t)$除起止点外没有重合点，而 $z(a)=z(b)$，则称 $z=z(t),a\le t\le b$为简单闭曲线或若尔当闭曲线

若尔当定理：对于任意的 $C$上的简单闭曲线 $L$，存在有界区域 $D_1$和无界区域 $D_2$， $D_1,D_2$以 $L$为边界， $D_1$称为 $L$的内区域， $D_2$称为 $L$的外区域

单连通区域：如果 $D$内任意简单闭曲线的内区域都完全包含在 $D$内，则称 $D$是单连通区域，从几何直观讲，单连通区域即是内部没有“洞”的区域，不是单连通区域的区域称为多连通区域

扩充复平面上的邻域：规定 $\infty$的邻域为 $\{z:|z|>\infty\}\cup\{\infty\}$

扩充复平面上的单连通区域：对于扩充复平面上的单连通的定义，我们需要作一个小的修正，即任意的 $D$内的简单闭曲线 $L$， $L$的内区域或外区域完全包含在 $D$内，在这个定义下 $\{z:|z|>r\}$不是单连通的， $\{z:|z|>r\}\cup\{\infty\}$是单连通的

闭集套定理：定义点集 $E$的直径为 $\displaystyle diam(E)=\sup_{z_1,z_2\in E}|z_1-z_2|$，对于 $C$上的闭集列 $\{E_n\}$，如果满足 $E_{n+1}\subseteq E_n(n=1,2,\cdots)$，并且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}diam(E_n)=0$，则存在唯一的复数 $z_0$，满足 $\displaystyle z_0\in \bigcap_{n=1}^\infty E_n$

有限覆盖定理： $E$是 $C$的有界闭集， $\{G_t,t\in I\}$是一列开集，满足 $E\subseteq \bigcup_{t\in I}G_t$则存在 $t_1,\cdots,t_n\in I$，满足 $E\subseteq \bigcup_{k=1}^n G_{t_k}$

魏尔斯特拉斯定理：有界复数列必存在收敛子列

柯西收敛原理： $C$上的柯西列都是收敛列