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1. 数学公式形式：

1.行内（inline style），或正文格式： $......$ , 或$……$
- 例如： $x_1=y_1 $ ， $ 12*12=144 $ ： $x_1=y_1$ ， $12*12=144$
2.显示（display style），或行间、列表格式：$$......$$,或 \ [……\ ]
- $$ 4+4 = 8 $$

$4 + 4 = 8$ $4+4=8$

3.公式中的中文： $ \text{被减数} - \text{减数} = \text{差} $

$\text{被减数} - \text{减数} = \text{差}$

2.数学结构：

2.1 上标与下标

2.1.1 基础符号

1、上标：使用特殊字符^；
2、下标：使用特殊字符_；

例如：

$ A_ij = 2^{i+j} $ ： $A_ij = 2^{i+j}$

3.上下标可以嵌套使用，先后顺序并不影响。但如果嵌套本身需要上下标，则外层一定要分组；

例如：

$ A_i^k = B^k_i $ ： $A_i^k = B^k_i$
$A_{i^k} = B^{k_i} $ ： $A_{i^k} = B^{k_i}$

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4.注意：数学公式中的空格（包括单个换行）并不起作用，适当空格可以起代码美观作用；
5.其他上标：
- 撇号： ` ，或是\prime（其可以与下标混用，但不可以与上标混用）;
- 角度：\circ
$a_0'={b^2}' $ ： $a_0'={b^2}'$
$90^\circ $ ： $90^\circ$

2.1.2 特殊算子不同位置的上下标：

1、特殊操作符[算子]需要加反斜杠—\；

例如： $ max_n f(n) = sum_{i=1}^n A_i $ ：

m a x_{n} f (n) = s u m_{i = 1}^{n} A_{i}

$max_n f(n) = sum_{i=1}^n A_i$

对比： $ \max_n f(n) = \sum_{i=1}^n A_i $ ：

max_{n} f (n) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i}

$\max_n f(n) = \sum_{i=1}^n A_i$

2、行内与行间的特殊操作符的显示形式不一样，因为行内需要避免过于拥挤或产生难看的行距；

$$ \max_n f(n) = sum_{i=1}^n A_i $$：

max_{n} f (n) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i}

$\max_n f(n) = \sum_{i=1}^n A_i$

3、正下方（或是正上方）与正常格式的转换：\limits命令，\nolimits命令；

3.$$ \max\nolimits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i $$：
${max}_{n} f (n) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i}$ $\max\nolimits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i$
$ \iint\limits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i $ ： $\iint_{n} f (n) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i}$ $\iint\limits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i$

4、元素的左上/左下标：$ {}_m^n H$，这时对齐和间距需要手工调整；(或使用mathtools宏包：\prescript{上标}{下标}{元素})；

$ {}_m^n H < L $ ： ${}_m^n H < L$

5、\sideset{左侧上下标}{右侧上下标}：用于排版 $\sum$ $\prod$ 等巨算符，在不影响算子上下标的情况下，给算子家额外标记；

(5)$$ \sideset{_a^b}{_c^d} \sum_{i=0}^n A_j = \sideset{}{'} \prod_k f_i $$：

${_{a}^{b} \sum_{c}^{d}}_{i = 0}^{n} A_{j} = \underset{k}{\prod^{'}} f_{i}$ $\sideset{_a^b}{_c^d} \sum_{i=0}^n A_j = \sideset{}{'} \prod_k f_i$

6、给任意符号的上下方添加标记：\overset，\underset

$ \overset{*}{X} $ ： $\overset{*}{X}$
——
$ \underset{*}{X}$ ： $\underset{*}{X}$
——
$ \overset{*}{\underset{*}{X}} $ ： $\overset{*}{\underset{*}{X}}$

2.2 上下划线与花括号

2.2.1 上下划线

1、基础语法：\overline{}，\underline{}

$ \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} $ ：
$\bar{a + b} = \bar{a} + \bar{b}$ $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$

2、可以任意嵌套：

$ \overline{ \underline{a} + \overline{b}^2 } = c^{\underline n} $ ：
$\bar{\underline{a} + {\bar{b}}^{2}} = c^{\underline{n}}$ $\overline{ \underline{a} + \overline{b}^2 } = c^{\underline n}$

3、加箭头：以上划线为例——\overleftarrow``\overrightarrow``\overleftrightarrow

$ \overleftarrow{a+b} $ ：
$\overset{\leftarrow}{a + b}$ $\overleftarrow{a+b}$
$ \overrightarrow{a+b} $ ： $\vec{a + b}$ $\overrightarrow{a+b}$
$ \overleftrightarrow{a+b} $ ： $\overset{\leftrightarrow}{a + b}$ $\overleftrightarrow{a+b}$

4、单个字母可以使用：\vec重音标记和宽标记，以使其位置更加准确

$ \vec x = \overrightarrow{x} $ ：
$\vec{x} = \vec{x}$ $\vec x = \overrightarrow{x}$
$ \overrightarrow{AB} = \vec {AB} $ ： $\vec{A B} = \vec{A B}$ $\overrightarrow{AB} = \vec {AB}$

2.2.2 花括号

1、语法：\overbrace和\underbrace

$ \overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3} $ ：
$\overset{⏞}{a + b + c} = \underset{⏟}{1 + 2 + 3}$ $\overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3}$

2、花括号的上下标注：

$ (\overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) $：
$(\overset{共 n + 1 项}{\overset{⏞}{a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}}})$ $(\overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}})$

2.2.3 方括号——mathtools宏包提供

语法：\underbracket[<线宽>][<伸出高度>]{<元素>}、\overbracket[<线宽>][<伸出高度>]{<元素>}

练习：

a + \overset{m}{\overset{⏞}{}} b + \underset{n}{\underset{⏟}{c + d + e}} + f

$a + \rlap{ \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f$

答案：$$ a + \rlap{ \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$
原理：幻影—\phantom，用于把元素设置为不可见；重叠—\rlap，使元素不占用空间，致使重叠产生。
（1）没有重叠时：$$ a + \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$：
$a + \overset{m}{\overset{⏞}{}} b + \underset{n}{\underset{⏟}{c + d + e}} + f$ $a + \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m b + \underbrace{c+d+e}_n+ f$
（2）没有幻影占位时： $$ a + \rlap{\underbrace{b + c + d}_m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$： $a + \underset{m}{\underset{⏟}{b + c + d}} b + \underset{n}{\underset{⏟}{c + d + e}} + f$ $a + \rlap{\underbrace{b + c + d}_m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f$

2.3 分式(fraction)

2.3.1 分数形式

1、语法：\frac<分子><分母>

（1）正文(text style)： $ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $ ： $\frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a}$
（2）显示(display style)：$$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $$：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{a} = \frac{2 + a}{2 a}$ $\frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a}$

注意：两种方式的排版大小不同，可以使用\dfrag和\tfrac分别指定显示与正文格式的分式：

例：$$\tfrac 12 f(x) = \frac{1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c}$$
$\frac{1}{2} f (x) = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + c}$ $\tfrac 12 f(x) = \frac{1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c}$

2、连分式（continue fraction）
语法：\cfrac[<参数>]{<元素>}，
参数包括：l、c、r 表示左、中、右对齐
与\frac区别：排版格式

（1）\frac方法：$$ \frac{1}{1 + \frac{2}{1+ \frac{3}{1+x}}} $$
$\frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{3}{1 + x}}}$ $\frac{1}{1 + \frac{2}{1+ \frac{3}{1+x}}}$
（2）’\cfrac方法’： $$ \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1+x}}} $$ $\frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{3}{1 + x}}}$ $\cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1+x}}}$

2.3.2 类似于分数的数学结构(分为上下两半)

1. 二项式系数

语法：\binom 完全类似于\frac
排版：\tbinom与\dbinom

例：$$ (a + b)^2 = \binom 20 a^2 + \binom 21 ab + \binom 22 b^2 $$
$(a + b)^{2} = (\binom{2}{0}) a^{2} + (\binom{2}{1}) a b + (\binom{2}{2}) b^{2}$ $(a + b)^2 = \binom 20 a^2 + \binom 21 ab + \binom 22 b^2$

2. 其他

语法：\genfrac{<左括号>}{<右括号>}{<线宽>}{<大小>}{<分子>}{<分母>}，
其中{<线宽>}{<大小>}如果为空表示默认值
{<大小>}可以是0，1，2，3分别表示：
- \displaystyle
- \textstyle
- \scriptstyle
- \scriptscriptstyle

$$ \genfrac{[}{]}{Opt}{}{n}{1} = (n - 1)!, \qquad n>0$$：
$[\frac{n}{1}] = (n - 1)!, n > 0$ $\genfrac{[}{]}{Opt}{}{n}{1} = (n - 1)!, \qquad n>0$

2.4 根式

1、基本语法：\sqrt[<可选参数—开方次数>]{}或\sqrt <元素>

$$ \sqrt 4 = \sqrt[3]{8} $$：
$\sqrt{4} = \sqrt[3]{8}$ $\sqrt 4 = \sqrt[3]{8}$

2、可以进行嵌套使用

$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$：
$\sqrt[n]{\frac{x^{2} + \sqrt{2}}{x + y}}$ $\sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}}$

3、如果开方内容过长，通常改为等价的指数形式

$$(x^p + y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}} $$：
$(x^{p} + y^{q})^{\frac{1}{1 / p + 1 / q}}$ $(x^p + y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}}$

4、如果对开方次数的排版不满意，可以使用\uproot{<整数>}与leftroot{<整数>}进行调整

(1)$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$：
$\sqrt[n]{\frac{x^{2} + \sqrt{2}}{x + y}}$ $\sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}}$
(2) $$ \sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$： $\sqrt[n]{\frac{x^{2} + \sqrt{2}}{x + y}}$ $\sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}}$

5、根式的高度，随内容而改变

$$ \sqrt 4 = \sqrt{\frac 12} $$：
$\sqrt{4} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt 4 = \sqrt{\frac 12}$

如果想要有统一高度，可以使用\vphantom占位

$$ \sqrt{\frac 12} = \sqrt{\vphantom{\frac 12}2}$$：

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ $\sqrt{\frac 12} = \sqrt{\vphantom{\frac 12}2}$

6、数学支架：\mathstrut，表示有一个圆括号高度和深度的支架，用来平衡不同高度与深度的字母

(1)原始： $$ \sqrt b \sqrt y$$
$\sqrt{b} \sqrt{y}$ $\sqrt b \sqrt y$
(2)加入支架后： $$ \sqrt{\mathstrut b} \sqrt{\mathstrut y} $$ $\sqrt{b} \sqrt{y}$ $\sqrt{\mathstrut b} \sqrt{\mathstrut y}$

2.5 矩阵(matrix)

分隔符：& ；
分行符:\\；
语法： \begin{matrix} <元素集> \end{matrix}

1、matrix环境：

$$ 
A = \begin{matrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{matrix} 
$$

A = \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}

$A = \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}$

2、小括号-pmatrix环境：\begin{pmatrix} ...... \end{pmatrix}

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix})$ $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$

3、中括号-bmatrix环境：\begin{bmatrix} ...... \end{bmatrix}

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}$

4、大括号-Bmatrix环境：\begin{Bmatrix} ...... \end{Bmatrix}

A = {\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}}

$A = \begin{Bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{Bmatrix}$

5、vmatrix环境：\begin{vmatrix} ...... \end{vmatrix}

$$
A = \begin{vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{vmatrix} 
$$

$A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix} |$ $A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix}$

6、Vmatrix环境：\begin{Vmatrix} ...... \end{Vmatrix}

$$ 
A = \begin{Vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{Vmatrix}
$$

A = ‖ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix} ‖

$A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{Vmatrix}$

7、矩阵中的省略号：\dots( $\dots$ )，\vdots( $\vdots$ )，ddots( $\ddots$ )，\iddots(反斜)

$$ 
A = \begin{bmatrix} 
a_{11} & \dots & a_{1n}  \\
  & \ddots & \vdots  \\
 0 & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix} 
$$

A = {[\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix}]}_{n \times n}

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} _{n \times n}$

8、跨多列的省略号：hdotsfor{<列数>}

$$ 
\begin{pmatrix}
1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n \\
\hdotsfor{4} \\
m & \frac m2 & \dots & \frac mn 
\end{pmatrix}
$$

(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{n} \\ \hdotsfor 4 \\ m & \frac{m}{2} & \dots & \frac{m}{n} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n \\ \hdotsfor{4} \\ m & \frac m2 & \dots & \frac mn \end{pmatrix}$

9、各矩阵之间的嵌套：

$$
\begin{pmatrix}
\begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix}
\end{pmatrix}
$$

(\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} \end{pmatrix}$

10、行内公式中的小矩阵：\smallmatrix

复数 $z = (x,y)$ ，也可以用矩阵表示，代码如下：

\begin{math} 
\left(  
\begin{smallmatrix}
x &  -y \\ y & x
\end{samllmatrix}
\right) 
\end{math}

11、上下标显示多行内容：\substack{<多行元素>}

$$
\sum_{\substack{0 <i <n \\ 0 < j <i}}  A_{ij}
$$

\sum_{\begin{matrix} 0 < i < n \\ 0 < j < i \end{matrix}} A_{i j}

$\sum_{\substack{0 <i <n \\ 0 < j <i}} A_{ij}$

12、subarray环境：参数 l(左对齐)，r(右对齐)，c(居中)

（1）基本语法：

$$
\begin{bmatrix}
\begin{subarray}{}
i<1 \\ j<100 \\ k<1000
\end{subarray}
\end{bmatrix}
$$

[\begin{matrix} \begin{matrix} i < 1 \\ j < 100 \\ k < 1000 \end{matrix} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \begin{subarray}{} i<1 \\ j<100 \\ k<1000 \end{subarray} \end{bmatrix}$

（2）用于上下标：

$$
\sum_{
\begin{subarray}{}
i<1 \\ j<100 \\ k<1000
\end{subarray}
}   	X(i, j,k)
$$

\sum_{\begin{matrix} i < 1 \\ j < 100 \\ k < 1000 \end{matrix}} X (i, j, k)

$\sum_{ \begin{subarray}{} i<1 \\ j<100 \\ k<1000 \end{subarray} } X(i, j,k)$

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