从零开始-Machine Learning学习笔记(14)-PCA主成分分析

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​ PCA(Principal Component Analysis, PCA)主成分分析法是一种应用比较广的降维技术，也是在模式识别领域中的一种行之有效的特征提取方法，是一种最优正交变换。

1.原理

​ 降维的目的是减少预测变量的个数，并且这些预测变量都是相互独立的。

​ 对于一个样本空间，我们寻求一个超平面来对我们的样本进行表达：

• 最近重构性：样本点到这个超平面的的距离都足够近(样本点到超平面的距离和最小)

• 最大可分性：样本点在这个超平面上的投影尽可能的分开

  假设投影后的新坐标系为$W = \{w_1.w_2,...,w_d\}$ ,其中$w_i$是标准正交基，即任意两个向量的数量积问为0，每个向量的内积为 1。若丢弃新坐标系中的部分坐标，就可以将维度降低到$d^* < d$，样本点在低维坐标系中的投影为$Z_{ij}= (W^*_j)^Tx_i$。那么按照最近重构性，我们需要优化的就是：每个样本点到分离超平面之间的距离之和最小，用数学的方式表达为：
  

  $$min\ \sum_{i=1}^{m}||\sum_{j=1}^{d^*}z_{ij}w_j - x_i||^2 = \sum_{i=1}^{m}z_i^Tz_i-2\sum_{i=1}^{m}z_i^TW^Tx_i+const\\ $$
  等价于：
  $$min\ -tr(W^TXX^TW)\\ s.t.\ W^TW = 1$$

使用拉格朗日乘子法可得：

$$XX^Tw_i = \lambda_iw_i$$
于是，只需要对协方差矩阵 $XX^T$进行特征值分解，将求得的特征值进行排序，并提取前 $d^*$个特征值对应的特征向量构成坐标变换空间 $W = \{w_1,w_2,...,w_{d^*}\}$。于是PCA算法可以描述为：

1.对所有样本进行中心化(每个样本减去均值)：$X = X - means(X)$

2.计算样本的协方差矩阵$XX^T$

3.对协方差矩阵$XX^T$做特征值分解

4.取最大的前$d^*$的特征值对应的特征向量构成投影矩阵$W = \{w_1,w_2,...,w_{d^*}\}$

2.算法实现

#pca特征维度压缩函数
#@dataMat 数据集矩阵
#@topNfeat 需要保留的特征维度，即要压缩成的维度数，默认4096    
def pca(dataMat,topNfeat=4096):
    #求数据矩阵每一列的均值
    meanVals=mean(dataMat,axis=0)
    #数据矩阵每一列特征减去该列的特征均值
    meanRemoved=dataMat-meanVals
    #计算协方差矩阵，除数n-1是为了得到协方差的无偏估计
    #cov(X,0) = cov(X) 除数是n-1(n为样本个数)
    #cov(X,1) 除数是n
    covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
    #计算协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
    #均保存在相应的矩阵中
    eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(conMat))
    #sort():对特征值矩阵排序(由小到大)
    #argsort():对特征值矩阵进行由小到大排序，返回对应排序后的索引
    eigValInd=argsort(eigVals)
    #从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
    eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
    #将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
    redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
    #将去除均值后的数据矩阵*压缩矩阵，转换到新的空间，使维度降低为N
    lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
    #利用降维后的矩阵反构出原数据矩阵(用作测试，可跟未压缩的原矩阵比对)
    reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
    #返回压缩后的数据矩阵及该矩阵反构出原始数据矩阵
    return lowDDataMat,reconMat