从零开始-Machine Learning学习笔记(12)-SMO算法解析

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​ SMO-Sequential Minimal Optimization，序列最小优化，SMO的基本思路就是：先固定$\alpha_i$之外的所有参数，然后求$\alpha_i$的极值。但是问题中存在约束条件：$\sum_{i=0}^{m}\alpha_iy_i=0$。如果固定了$\alpha_i$之外的其他变量，则$\alpha_i$可以由其他的变量导出。于是，一次只留一个参数，固定其余参数的方法在这里是不适用的，但是这个思想却给了我们不错的启发。那么，SMO可以每次选择两个变量$\alpha_i$和$\alpha_j$，并固定其他参数。这样，在参数初始化之后，SMO不断迭代重复下面的步骤，直至收敛：

• 选取一对新的$\alpha_i$和$\alpha_j$;

• 固定$\alpha_i$和$\alpha_j$之外的参数，求解前面的优化问题，获取更新后的$\alpha_i$和$\alpha_j$。

  假设我们选择$\alpha_1$与$\alpha_2$是变量，其余的$\alpha_i$是定值，常数，那么原来的目标函数：
  

  $$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_\alpha \;\;\frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _i}{\alpha _j}{y_i}{y_j}K\left( {{x_i} \cdot {x_j}} \right)} } - \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} \\ s.t.\;\;\sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}{y_i}} = 0\\ \;\;\;\;\;0 \le {\alpha _i} \le C,\;\;\;\;\;i = 1,2, \ldots N \end{array}$$

就变为对$\alpha_1$与$\alpha_2$的优化：

$$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\alpha _1},{\alpha _2}} W\left( {{\alpha _1},{\alpha _2}} \right)\\ \end{array}$$

1. 原目标函数化简

​ 我们来逐步化简原来的目标函数，其中只有$\alpha_1$与$\alpha_2$是变量，其余的都是常数：

$$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_\alpha \;\;\frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _i}{\alpha _j}{y_i}{y_j}K\left( {{x_i} \cdot {x_j}} \right)} } - \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} \\ \end{array}$$

我们分别取

$i=1,j=1$

$i=1,j=2$

$i=1,j\neq1,2$

$j=1,i\neq1,2$

$i=2,j=1$

$i=2,j=2$

$i=2,j \neq1,2$

$j=2,i\neq1,2$

$i\neq1,2,j\neq1,2$

这样我们就可以把目标函数化成只有变量$\alpha_1$与$\alpha_2$，其余的项都可以合并为常数C：

$$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_\alpha \;\;\frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _i}{\alpha _j}{y_i}{y_j}K\left( {{x_i} \cdot {x_j}} \right)} } - \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} \\ =\mathop {\min }\limits_\alpha \frac{1}{2}[\alpha_1^2K_{11}+\alpha_1\alpha_2y_1y_2K_{12}+2\sum_{j=3}^{N}\alpha_1\alpha_jy_1y_jK_{1j}\\\ \ \ \ + \alpha_2\alpha_1y_2y_1K_{21}+\alpha_2^2K_{22}+2\sum_{j=3}^{N}\alpha_2\alpha_jy_2y_jK_{2j}+C_1]\\\ \ \ \ -(\alpha_1+\alpha_2)-C_2 \\ =\mathop {\min }\limits_\alpha \frac{1}{2}[\alpha_1^2K_{11}+\alpha_2^2K_{22}+2\alpha_1\alpha_2y_1y_2K_{12}+2\sum_{j=3}^{N}\alpha_1\alpha_jy_1y_jK_{1j}\\\ \ \ \ +2\sum_{j=3}^{N}\alpha_2\alpha_jy_2y_jK_{2j}]-(\alpha_1+\alpha_2)+C\\ =\mathop {\min }\limits_\alpha \frac{1}{2}[\alpha_1^2K_{11}+\alpha_2^2K_{22}+2\alpha_1\alpha_2y_1y_2K_{12}+2\alpha_1y_1v_1+2\alpha_2y_2v_2]-(\alpha_1+\alpha_2)+C \end{array}$$
其中：
$$v_1 =\sum_{j=3}^{N}\alpha_jy_jK_{1j}\\ v_2 =\sum_{j=3}^{N}\alpha_jy_jK_{2j}$$
于是，我们的目标函数就转化为上式的样子。

2. 解的范围

要求解上述的优化问题，必定先确定解的范围，根据原来的约束条件我们知道：

$$\alpha_1y_1+\alpha_2y_2 = K \\ 0<\alpha_1<C\\ 0<\alpha_2<C$$
其中我们知道 $y_i^2=1$，所以对于第一个约束条件我们可以有两种表示方式：

$y_1=y_2时，\alpha_1+\alpha_2=K$

$y_1\neq y_2时，\alpha_1-\alpha_2=K$

​ k具体是多少我们并不关心，但是我们知道α1和α2的取值都落在途中的直线上。k无非就是一个截距，随着k的变化，这根直线在方框内会上下移动，交点也变，但是一定要在方框范围内，所以边界一定会落在方框与直线的交点上。设L为α2可能的最小取值，H为α2可能的最大取值,那么有：

1. $y_1=y_2时，\alpha_1+\alpha_2=K，则\alpha_2=K-\alpha_1$

   我们都知道$0<\alpha_1<C,0<\alpha_2<C$;

   当$\alpha_1=C$时，$\alpha_2$取得最小值,即$\alpha_2=K-C$,但是，$0<\alpha_2$,所以最小值在这两者中取得，于是：
   

   $$L = max\{0,K-C\}=max\{0,\alpha_1+\alpha_2-C\}$$
   当$\alpha_1=0$时，$\alpha_2$取得最大值,即$\alpha_2=K$但是，$\alpha_2<C$,所以最大值在这两者中取得，于是：
   $$H=min\{K,C\}=min\{\alpha_1+\alpha_2,C\}$$

2. $y_1\neq y_2时，\alpha_1-\alpha_2=K，则\alpha_2=\alpha_1-K$

   我们都知道$0<\alpha_1<C,0<\alpha_2<C$;

   当$\alpha_1=0$时，$\alpha_2$取得最小值,即$\alpha_2=-K$但是，$0<\alpha_2$以最小值在这两者中取得，于是：

$$L = max\{0,-K\}=max\{0,\alpha_2-\alpha_1\}$$

​ 当$\alpha_1=C$时，$\alpha_2$取得最大值,即$\alpha_2=C-K$但是，$\alpha_2<C$,所以最大值在这两者中取得，于是：

$$H=min\{C,C-K\} = min\{C,C+\alpha_2-\alpha_1\}$$

3.求解过程

​ 先将$\alpha_1$用$\alpha_2$来表示，因为$\alpha_1y_1+\alpha_2y_2 = k（const）$，两边同时乘以$y_1$,于是有：

$$\alpha_1 = (k-\alpha_2y_2)y_1$$
带入到我们之前化简的目标函数中，那么目标函数就变为只有变量 $\alpha_2$的优化问题了：
$$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_\alpha \frac{1}{2}[\alpha_1^2K_{11}+\alpha_2^2K_{22}+2\alpha_1\alpha_2y_1y_2K_{12}+2\alpha_1y_1v_1+2\alpha_2y_2v_2]-(\alpha_1+\alpha_2)+C\\ =\mathop {\min }\limits_\alpha \frac{1}{2}[( (k-\alpha_2y_2)y_1)^2K_{11}+2 (k-\alpha_2y_2)\alpha_2y_2K_{12}\\ \ \ \ +2 (k-\alpha_2y_2)v_1+2\alpha_2y_2v_2]-( (k-\alpha_2y_2)y_1+\alpha_2)+C \end{array}$$
其中，v1与v2需要变换一下，不能直接运算，因为SVM的模型为：
$$f(x) = w^Tx+b=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_iK(x_i,x_j)+b ,则\\ f(x_1) = \alpha_1y_1K_{11}+\alpha_2y_2K_{12}+\sum_{i=3}^{N}\alpha_iy_iK(x_i,x_j)+b =\alpha_1y_1K_{11}+\alpha_2y_2K_{12}+v_1+b \\ f(x_2) = \alpha_1y_1K_{12}+\alpha_2y_2K_{22}+\sum_{i=3}^{N}\alpha_iy_iK(x_i,x_j)+b =\alpha_1y_1K_{12}+\alpha_2y_2K_{22}+v_2+b$$
所以可以间接求出v1与v2为：
$$v_1 = f(x_1)-\alpha_1y_1K_{11}-\alpha_2y_2K_{12}-b =f(x_1)- (k-\alpha_2y_2)K_{11}-\alpha_2y_2K_{12}-b\\ v_2 = f(x_2)-\alpha_1y_1K_{12}-\alpha_2y_2K_{22}-b=f(x_2)- (k-\alpha_2y_2)K_{12}-\alpha_2y_2K_{22}-b \\ $$
所以，此时目标函数就只是一元函数，我们对其求倒数，并使其为0，就可以求出 $\alpha_2$:
$$\begin{array}{l} \frac{\partial W}{\partial \alpha_2} = \frac{1}{2}[2( (k-\alpha_2y_2)y_1)(-y_1y_2)K_{11}+2\alpha_2K_{22}+2(k-2\alpha_2y_2)y_1y_1y_2K_{12}+2(-y_1y_2)\alpha_2(y_1y_2)K_{12}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2(-y_1y_2)y_1v_1+2y_2v_2]-(-y_1y_2+1)\\ =(\alpha_2-ky_2)K_{11}+\alpha_2K_{22}+(ky_2-2\alpha_2)K_{12}-y_2v_1+y_2v_2+y_1y_2-1\\ =\alpha_2(K_{11}+K_{22}-2K_{12})-ky_2K_{11}+ky_2K_{12}-y_2v_1+y_2v_2+y_1y_2-1\\ =\alpha_2(K_{11}+K_{22}-2K_{12})-ky_2K_{11}+ky_2K_{12}-y_2(v_1-v_2)+y_1y_2-1=0 \end{array}$$

此时我们把v1与v2带入就可以得到迭代公式：

$$\alpha_2^*(K_{11}+K_{22}-2K_{12}) = ky_2(K_{11}-K_{12})+y2(v_1-v_2)-y_1y_2+1\\ =ky_2(K_{11}-K_{12})+y2[f(x_1)-f(x_2)+(k-\alpha_2y_2)(K_{12}-K_{11})+\alpha_2y_2(K_{22}-K_{12})]-y_1y_2+y_2^2\\ =\alpha_2(K_{11}+K_{22}-2K_{12})+y_2[(f(x_1)-y_1)-(f(x_2)-y_2)]$$
于是我们可以得到递推公式：
$$\alpha_2^*=\alpha_2+\frac{y_2[(f(x_1)-y_1)-(f(x_2)-y_2)]}{K_{11}+K_{22}-2K_{12}}=\alpha_2+y_2\frac{E_1-E_2}{\eta}$$
其中 $E_j$是预测值与实际值之差， $\eta = K_{11}+K_{22}-2K_{12}$

最后将$\alpha_2$的值进行约束：

$$\alpha_2^{new} = \begin{cases} H, & \alpha_2^*>H \\[2ex] \alpha_2^*, & L\leq\alpha_2^*\leq H \\[2ex] L, & \alpha_2^*<L \\[2ex] \end{cases}$$
得到 $\alpha_2$之后就可以由约束条件 $\alpha_1y_1+\alpha_2y_2 = \alpha_1^{new}y_1+\alpha_2^{new} = k$得到 $\alpha_1$：
$$\alpha_1^{new} = \alpha_1+y_1y_2(\alpha_2-\alpha_2^{new})$$
大部分情况下，$\eta>0$，但是当$\eta\leq0$的时候就比较麻烦了，需要更为复杂的求解手段。详情可以见我后面附上的参考博客。在现实中，这种情况不常发生，因此忽略也无伤大雅，在程序中遇到了一般的处理是跳过此次循环。

4、求解w与b

w的求解可以通过：$w^* = \sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i^*{y_i}{x_i}} \\$求得。

b可以通过kkt条件求出：

这是原优化问题的KKT条件：

1. 当$α_i=0$时，分类是正确的；
2. 当$0≤α_i≤C$时，这时的样本点是支持向量，处在边界上；
3. 当$α_i=C$时，位于边界之间。

参考上面的KKT条件进行分类讨论：

1. 如果$0<α_1<C$，则(x1,y1)为支持向量，满足$y_i(∑_{i=1}^mα_iy_iK_{i1}+b_1)=1$：
   

   $$\alpha_1^*y_1K_{11}+\alpha_2^*y_2K_{21}+\sum_{i=3}^{m}\alpha_iy_iK_{i1}+b_1^*=y_1$$
   $$b_1^* = y_1-\sum_{i=3}^{m}\alpha_iy_iK_{i1}-\alpha_1^*y_1K_{11}-\alpha_2^*y_2K_{21}\\ = y_1-v_1-\alpha_1^*y_1K_{11}-\alpha_2^*y_2K_{21}\\ = y_1- [f(x_1)-\alpha_1y_1K_{11}-\alpha_2y_2K_{12}-b]-\alpha_1^*y_1K_{11}-\alpha_2^*y_2K_{21}\\ =b_1-E_1-y_1K_{11}(\alpha_1^*-\alpha_1)-y_2K_{21}(\alpha_2^*-\alpha_2)$$

2.如果$0<α_2<C$，则(x2,y2)为支持向量,那么可以得到$b_2$:

$$b_2^* =b_2-E_2-y_1K_{12}(\alpha_1^*-\alpha_1)-y_2K_{22}(\alpha_2^*-\alpha_2)$$
3.如果同时有 $0<α_1<C，0<α_2<C$,那么有 $b_1^*=b_2^*$。

4.如果均不满足$0≤α_i≤C$就取两者中点：$b^*=\frac{b_1^*+b_2^*}{2}$

在周志华老师的《机器学习》中，还给出了一个更为鲁棒的求法：使用所有支持向量求解的平均值：

$$b = \frac{1}{|S|}\sum_{s \in S}(\frac{1}{y_s}-\sum_{i \in S}\alpha_iy_ix_i^Tx_s)$$
其中S是所有支持向量的下标集合。

5.总结

​ SMO的公式推导还是比较复杂的，但是越推就越觉得Platt这些人确实厉害，能推导出如此美丽的公式。钦佩之余，自己又在机器学习的道路上前进了许多，也愈发的觉得自己懂的还是太少，即便是全部推完了这些公式，不会应用的惶恐之心又涌上心头。但是，学无止境，只要一直在路上就一定会到达目的地！

​ 下一篇博客中，我会去研究SMO中启发式的变量选择，看这种方式是如何提高算法的效率的！

参考资料：

周志华《机器学习》-支持向量机

机器学习入门笔记：（4.3）SMO算法

支持向量机（五）SMO算法