筛法求素数POJ2262Goldbach’s Conjecture

/*
筛法求素数，首先从2开始将2的倍数全部筛掉，寻找下个未被筛掉的数字（就是下一个素数）
*/


#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int LEN=1000000+5;
const int Sqrt_Len=ceil(sqrt((double) LEN));
bool isPrimes[LEN];

void findPrimes(){
    memset(isPrimes,true,sizeof(isPrimes));//初始化素数表
    isPrimes[0]=isPrimes[1]=false;

    for(int i=2;i<=Sqrt_Len;i++){//筛法求素数

        if(isPrimes[i] == false)//寻找下一个素数
            continue;

        int multiple=2;//筛
        while(true)
        {
            int multiNum = multiple * i;
            if(multiNum > LEN)
                break;
            isPrimes[multiNum] = false;
            multiple++;
        }

    }
}

bool printGoldbach(int n){//打表
    for(int i=3;i<n;i++){
        if(!isPrimes[i]) continue;
        if(isPrimes[n-i]){
            cout<<n<<" = "<<i<<" + "<<n-i<<"\n";
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    findPrimes();

    int n;
    while(cin>>n && n!=0){
        if(!printGoldbach(n))
            cout<<"Goldbach's conjecture is wrong.\n";
    }

    return 0;
}

题意分析：
     证明任意一个大于4的偶数n都可以写成两个奇素数（非2质数）之和, 其中n∈[6,1000000)且为偶数
     其实就是证明100万以内的哥德巴赫猜想.
 
    解题思路：
     主要分两步走：
     ① 求出100万以内所有素数
     ② 在这个素数集中找出两个奇素数，使其之和等于n（根据题意若存在多个组合则取差值最大的一组）
 
     第①步只需要打表做一次即可，
     第②步也不难：在素数表中找出比n小的最大一个素数x，
       若y=n-x也在素数表中, 且 x,y != 2，则x,y就是解；
       反之继续找比x小的下一个素数，重复这个步骤即可.
 
     那么问题在于第①步，如何快速找到100万内的所有素数。
     关于素数的求解方法，不外乎用到：
      定义：只能被1或者自身整除的自然数（不包括1），称为素数
      定理：如果一个数k是合数，那么它的最小质因数肯定<=sqrt(k) 
            由于一个自然数若不是合数则必是素数，这个定理可以反过来用于素数：
            如果一个数k是素数, 那么k必不能被<=sqrt(k)的所有整数整除
      算法：埃拉托斯特尼筛法，也简称筛法，是一种空间换时间算法.
            筛法主要用于求出某一个范围内的所有素数，而不用于判断某个数是否为素数.
            其主要思想是利用了合数定理, 剔除范围内所有合数，剩下的必是素数.
            例如要求 (1, n] 以内的所有素数：
              那么把2的所有倍数删掉（不包括2）；
              在剩下的数中第一个是3，把3的所有倍数删掉（不包括3）；
              在剩下的数中第一个是7，把7的所有倍数删掉（不包括7）......
              一直重复直到遍历完 (1, sqrt(n)] 范围内的所有数，那么剩下的就是这个范围内的素数
 
 
      常规情况下，
        使用定义+定理求解素数，时间复杂度约为O(n*sqrt(n))，超过千万级的话短时间内跑不动
        使用筛法求解素数，时间复杂度可达到O(n)，但空间复杂度也达到了O(n) 

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