题意:要求构造一个n*n的01矩阵,满足其任意的子矩形,其4个角都不全为1.
1<=n<=2000.并且矩阵中1的个数要>=85000.
令n=p^2. 任意两个01序列相同的1数量不超过1.
构造:总共p块.每块有p行,每行分为p个区域.每个区域p列.
然后令每一个行中每一个区域都正好有一个1.
并且每块中除了第一行以外,其余同行中任意两个1所在位置模p不同余 (同一行1所在的列正好构成模p的完全剩余系)'
例如n=25,p=5.
10000 10000 10000 10000 10000
10000 01000 00100 00010 00001 (0,1,2,3,4)
10000 00100 00001 01000 00010 (0,2,4,1,3)
..............................
证明这种构造是合法的.
令c1,c2为某一行含两个1的两个列.其区域分别为k1,k2
现在要证明这样的行只有一个,若有两行以上 则构成4个角为1的子矩形.
第i块的第j行 (i,j) 确定一个row.
i+j*k1 ≡ c1 (mod p).
i+j*k2 ≡ c2 (mod p)
j(k1-k2) ≡ c1-c2 (mod p)
p为素数 (i,j)的解唯一.这样的行只有一个.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e3+5;
bool a[N][N];
int main(){
int p=47;
for(int i=0;i<p;i++)
for(int j=0;j<p;j++)
for(int k=0;k<p;k++)
a[i*p+j][k*p+(i+k*j)%p]=1;
puts("2000");
for(int i=0;i<2000;i++)
{
for(int j=0;j<2000;j++)
printf("%d",a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}