MATLAB 实现 单纯形算法

使用 MATLAB 实现单纯形法。

函数接口：

[x, case] = mysimplexMax(c, A, b, x0)

x0 是初始值，case = 0 表示有最优解，case = 1 表示无边界

解决如下线性规划标准形式问题：

$$\mathop{\arg\min}\limits_{\vec{x}} \quad \vec{c}^T\vec{x}$$

$$s.t. \quad \left\{ \begin{array}{c} A\vec{x} = \vec{b} \\ \vec{x} \ge 0 \\ \end{array} \right.$$

算法伪代码：

MATLAB 代码实现：

function [x, result_case] = mysimplexMax(c, A, b, x0)

ind_B = find(x0 ~=0);
ind_N = find(x0 == 0);

while (1)
    B = A(:, ind_B);
    N = A(:, ind_N);
    x_B = x0(ind_B);
    x_N = x0(ind_N);
    c_B = c(ind_B);
    c_N = c(ind_N);

    s = c_N - N' * inv(B)' * c_B; 
    %'
    if isempty(find(sign(s) > 0))
        % found optimal solution
        x = x0;
        result_case = 0;
        return
    end
    % 保证 s 有正数
    % 选最大的正检验数作为进基变量 q
    [max_q i_q] = max(s);
    q = ind_N(i_q);
    d = B \ A(:, q);
    if isempty(find(sign(d) > 0))
        % unbound case
        x = [];
        result_case = 1;
        break;
    end
    % 保证 d 有正数
    % 选择最小非负ratio 作为离基变量 p
    ratio_array = x_B./d;
    ratio = min(ratio_array((ratio_array > 0)));

    % 更新 x0 的值
    x0(ind_B) = x_B - ratio * d;
    e_iq = zeros(length(x_N), 1);
    e_iq(i_q) = 1;
    x0(ind_N) = x_N + ratio * e_iq;
    % 更新基本量，非基变量集合
    ind_B = find(x0 ~=0);
    ind_N = find(x0 == 0);
end
end

以如下范例测试函数准确性：

$$\max_{x_1, x_2} \quad z = 8x_1 + 5x_2$$
$$s.t. \quad \left\{ \begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \le 1000 \\ 3x_1 + 4x_2 \le 2400 \\ x_1 + x_2 \le 700 \\ x_1 - x_2 \le 350 \\ x_1, x_2 \ge 0\\ \end{array} \right.$$

A = [2 1 1 0 0 0;3 4 0 1 0 0;1 1 0 0 1 0;1 -1 0 0 0 1];
b = [1000; 2400; 700; 350];
c = [8; 5; 0; 0; 0; 0];
x0 = [0; 0; b];
[x, ca] = mysimplexMax(c, A, b, x0)

结果输出正确：

x =
  320.0000
  360.0000
         0
         0
   20.0000
  390.0000
ca =
     0

最优解为 $x_1 = 320$ ，$x_2=360$