A man's feet should be planted in his country, but his eyes should survey the world.
一个人应该立足本土，放眼世界。
高等数学（8） —— 向量代数与空间解析几何
这里是高数（下）的笔记，
和高数（上）一起更新，不知道更不更得完。
祝我会的都憋得出，不会的蒙的出。
目录
有点多哦
1. 向量及其线性运算1.1 向量的概念1.2 向量的线性运算1.2.1 向量的加法1.2.2 向量与数的乘法1.3 空间直角坐标系2. 数量积 向量积 混合积3. 平面及其方程3.1 曲面方程与空间曲线方程的概念3.2 平面的点法式方程3.3 平面的一般方程3.4 两平面的夹角4. 空间直线及其方程4.1 空间直线的一般方程4.2 空间直线的对称方程式与参数方程4.2.1 点向式方程4.2.1 参数方程4.3 两直线的夹角4.4 直线与片面的夹角5. 曲面及其方程5.1 曲面研究的基本问题5.2 旋转曲面5.3 柱面5.4 二次曲面6. 空间曲线及其方程6.1 空间曲线的一般方程6.2 空间曲线的参数方程
1. 向量及其线性运算
1.1 向量的概念
向量： 有向线段。（既有大小，又有方向），常指与起点无关的向量——自由向量。
相等： 大小相等，方向相同的两个向量是相等的。
模： 向量的大小。模长为1的向量即单位向量，模长为0即零向量。
1.2 向量的线性运算
线性运算： 向量相加及其数乘的统称。
1.2.1 向量的加法
方法： 三角形法则（平行四边形法则）。
规律： 交换律、结合律。
1.2.2 向量与数的乘法
向量平行的充要条件：
规律： 结合律、分配律。
1.3 空间直角坐标系
坐标轴： 三条两两垂直的单位向量以及一个点作为原点所确定的三条两两垂直的数轴。
一般坐标轴的正向符合右手规划。
卦限： 理解为平面坐标系的象限，正面右上为第一卦限，逆时针螺旋数。
向径： 表示原点到指定点的向量。
2. 数量积 向量积 混合积
3. 平面及其方程
3.1 曲面方程与空间曲线方程的概念
曲面和曲线都看作点的几何规矩。
曲面方程：
- 曲面上任意点都满足上述方程。
- 曲面外的点都不满足上述方程。
曲线方程： 为两个曲面的交线
3.2 平面的点法式方程
法向量： 垂直于指定平面的非零向量。
假设M0为指定平面上的一点，那么当任意与其所构成的向量M与该平面的法向量点积，结果一定为0。
上述所确定的方程即平面的点法式方程。
3.3 平面的一般方程
根据3.2所得到的方程，将其中所含所有常量的代数和用D表示，有：
即平面的一般方程。
平面的截距式方程：
3.4 两平面的夹角
两平面的夹角： 两平面的法向量的夹角。
4. 空间直线及其方程
4.1 空间直线的一般方程
空间直线可以用两个平面的交线表示，则需用一个方程组表示：
上述方程即空间直线的一般方程。
4.2 空间直线的对称方程式与参数方程
4.2.1 点向式方程
我有一个风能电风扇，只要有风，它就会转。
直线的对称式方程：又称点向式方程，
直线的方向余弦： 即向量s的方向余弦。
4.2.1 参数方程
当m、n、p不为零时，设
可得：
上述方程组即直线的参数方程。
- 当m、n、p有一个为零，如 m=0，方程组为：
- 当m、n、p有两个为零，如 m=n=0，有：
4.3 两直线的夹角
4.4 直线与片面的夹角
5. 曲面及其方程
5.1 曲面研究的基本问题
- 已知点的几何轨迹，求方程。
- 已知方程研究形状。
5.2 旋转曲面
旋转曲面的方程：
形如：
如果三元二次方程中有两个变量的系数一样，那这个方程就是旋转曲面方程。
5.3 柱面
任意平面中的曲线方程，于平面，就是线，于空间就是柱面。
5.4 二次曲面
我们用的多的一般就是：柱面和旋转曲面；
“二次曲面”大家自己进一步熟悉它的方程和图形。
—— 吾师
咱也不敢说，看个乐呵。
6. 空间曲线及其方程
这里简单略过一些东西。
6.1 空间曲线的一般方程
和空间直线类比，空间曲线可以表示为两个曲面的交线，即：
6.2 空间曲线的参数方程
