先来介绍快速排序？快速排序的原理
看快速排序算法（Quicksort），我们习惯性把它简称为“快排”。快排利用的也是分治思想。乍看起来，它有点像归并排序，但是思路其实完全不一样。我们待会会讲两者的区别。现在，我们先来看下快排的核心思想。快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。
我们遍历 p 到 r 之间的数据，将小于 pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将 pivot放到中间。经过这一步骤之后，数组 p 到 r 之间的数据就被分成了三个部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 pivot 的，中间是 pivot，后面的 q+1 到 r 之间是大于 pivot 的。
根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。如果我们用递推公式来将上面的过程写出来的话，就是这样：
递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件：
p >= r将递推公式转化成递归代码。跟归并排序一样，我还是用伪代码来实现，你可以翻译成你熟悉的任何语言。
// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
if p >= r then return
q = partition(A, p, r) // 获取分区点
quick_sort_c(A, p, q-1)
quick_sort_c(A, q+1, r)
} 归并排序中有一个 merge() 合并函数，我们这里有一个 partition() 分区函数。partition() 分区函数实际上我们前面已经讲过了，就是随机选择一个元素作为 pivot（一般情况下，可以选择 p到 r 区间的最后一个元素），然后对 A[p…r] 分区，函数返回 pivot 的下标。
如果我们不考虑空间消耗的话，partition() 分区函数可以写得非常简单。我们申请两个临时数组 X 和 Y，遍历 A[p…r]，将小于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 X，将大于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 Y，最后再将数组 X 和数组 Y 中数据顺序拷贝到 A[p…r]。
但是，如果按照这种思路实现的话，partition() 函数就需要很多额外的内存空间，所以快排就不是原地排序算法了。如果我们希望快排是原地排序算法，那它的空间复杂度得是 O(1)，那partition() 分区函数就不能占用太多额外的内存空间，我们就需要在 A[p…r] 的原地完成分区操作。
原地分区函数的实现思路非常巧妙，我写成了伪代码，我们一起来看一下。
partition(A, p, r) {
pivot := A[r]
i := p
for j := p to r-1 do {
if A[j] < pivot {
swap A[i] with A[j]
i := i+1
}
}
swap A[i] with A[r]
return i 这里的处理有点类似选择排序。我们通过游标 i 把 A[p…r-1] 分成两部分。A[p…i-1] 的元素都是小于 pivot 的，我们暂且叫它“已处理区间”，A[i…r-1] 是“未处理区间”。我们每次都从未处理的区间 A[i…r-1] 中取一个元素 A[j]，与 pivot 对比，如果小于 pivot，则将其加入到已处理区间的尾部，也就是 A[i] 的位置。
数组的插入操作还记得吗？在数组某个位置插入元素，需要搬移数据，非常耗时。当时我们也讲了一种处理技巧，就是交换，在 O(1) 的时间复杂度内完成插入操作。这里我们也借助这个思想，只需要将 A[i] 与 A[j] 交换，就可以在 O(1) 时间复杂度内将 A[j] 放到下标为 i 的位置。
文字不如图直观，所以我画了一张图来展示分区的整个过程。
因为分区的过程涉及交换操作，如果数组中有两个 8，其中一个是 pivot，经过分区处理之后，后面的 8 就有可能被放到了另一个 8 的前面，先后顺序就颠倒了。所以，快速排序并不是一个稳定的排序算法。
到此，快速排序的原理你应该也掌握了。现在，我再来看另外一个问题：快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？
可以发现，归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并。而快排正好相反，它的处理过程是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。我们前面讲过，归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。
快速排序的性能分析
现在，我们来分析一下快速排序的性能。我在讲解快排的实现原理的时候，已经分析了稳定性和空间复杂度。快排是一种原地、不稳定的排序算法。现在，我们集中精力来看快排的时间复杂度。
快排也是用递归来实现的。对于递归代码的时间复杂度，我前面总结的公式，这里也还是适用的。如果每次分区操作，都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并是相同的。所以，快排的时间复杂度也是 O(nlogn)。
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1但是，公式成立的前提是每次分区操作，我们选择的 pivot 都很合适，正好能将大区间对等地一分为二。但实际上这种情况是很难实现的。
我举一个比较极端的例子。如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n/2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n )。我们刚刚讲了两个极端情况下的时间复杂度，一个是分区极其均衡，一个是分区极其不均衡。它们分别对应快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均情况时间复杂度是多少呢？
我们假设每次分区操作都将区间分成大小为 9:1 的两个小区间。我们继续套用递归时间复杂度的递推公式，就会变成这样：
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = T(n/10) + T(9*n/10) + n； n>1这个公式的递推求解的过程非常复杂，虽然可以求解，但我不推荐用这种方法。实际上，递归的时间复杂度的求解方法除了递推公式之外，还有递归树，在树那一节我再讲，这里暂时不说。我这里直接给你结论：T(n) 在大部分情况下的时间复杂度都可以做到 O(nlogn)，只有在极端情况下，才会退化到 O(n )。而且，我们也有很多方法将这个概率降到很低，如何来做？我们下节讲。
解答开篇
快排核心思想就是分治和分区，我们可以利用分区的思想，来解答开篇的问题：O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素。比如，4， 2， 5， 12， 3 这样一组数据，第 3 大元素就是4。
我们选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot，对数组 A[0…n-1] 原地分区，这样数组就分成了三部分，A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。如果 p+1=K，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1]
区间，我们再按照上面的思路递归地在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理，如果 K<p+1，那我们就在 A[0…p-1] 区间查找。
我们再来看，为什么上述解决思路的时间复杂度是 O(n)？
第一次分区查找，我们需要对大小为 n 的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为、n/2、n/4、n/8、n/16.……直到区间缩小为 1。如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。你可能会说，我有个很笨的办法，每次取数组中的最小值，将其移动到数组的最前面，然后在剩下的数组中继续找最小值，以此类推，执行 K 次，找到的数据不就是第 K 大元素了吗？不过，时间复杂度就并不是 O(n) 了，而是 O(K * n)。你可能会说，时间复杂度前面的系数不是可以忽略吗？O(K * n) 不就等于 O(n) 吗？这个可不能这么简单地划等号。当 K 是比较小的常量时，比如 1、2，那最好时间复杂度确实是O(n)；但当 K 等于 n/2 或者 n 时，这种坏情下的况时间复杂度就是 O(n ) 了。
转截来自：极客时间，数据机构与算法之美
