去年写了一篇《分治算法 求第 小元素 & )》的文章。介绍了一种对快排进行改进的算法，可以在时间复杂度 的情况下，找到第 小的数字。
那时候，我还不知道这个算法叫BFPRT算法——现在知道了，还知道它又被称为中位数的中位数算法，它的最坏时间复杂度为 ，它是由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出，它的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。
而且，我还发现了STL中有一个类似的函数——std::nth_element （位于头文件<algorithm>中）:
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional>
int main() {
std::vector<int> v{5, 6, 4, 3, 2, 6, 7, 9, 3};
std::nth_element(v.begin(), v.begin() + v.size()/2, v.end());
std::cout << "The median is " << v[v.size()/2] << '\n';
std::nth_element(v.begin(), v.begin()+1, v.end(), std::greater<int>());
std::cout << "The second largest element is " << v[1] << '\n';
}
The median is 5
The second largest element is 7
好了，言归正传。BFPRT算法主要由两部分组成（快排、基准选取函数）。基准选取函数也就是中位数的中位数算法（Median of Medians algorithm）的实现，具体来说——就是将快排中基准选取策略进行了优化，改为每次尽可能的选择中位数作为基准。
那么是如何尽可能的选出中位数？ 如果要找到一个精确的中位数，所消耗的时间代价将得不偿失，而且对于快排算法来说，只要基准尽可能的接近真正的中位数，就能形成近似的均分。我在上一篇文章中举了个例子，这里我再重复一遍：
假设，我们要找arr[18]的近似中位数——其实，也就是找到数字8。（注意到，由于使用了分组，这里产生的只是尽可能的中位数）
int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };
BFPRT算法规定了，将5个元素作为一组（选出中位数）。然后，再选出中位数中的中位数…一直到，最终选出一个数字。
那么，第一轮就是这样（将选出的中位数放置在最前面）：
//执行momedians之前
{ 1,2,3,4,5} {6,7,8,9,10} {11,12,13,14,15} {16,17,18 };
分别对每组sort后选取小组中位数，再使用swap将小组中位数放置在“最前面”对应位置（注意下文中*号的标注，它表示这一步选出的小组中位数放置到哪儿去了）。
//开始momedians
{ 3*,2,1*,4,5};//sort->swap(3,1)
{ 3,8*,1,4,5} {6,7,2*,9,10};//sort->swap(8,2)
{ 3,8,13*,4,5} {6,7,2,9,10} {11,12,1*,14,15};//sort->swap(13,1)
{ 3,8,13,17*,5} {6,7,2,9,10} {11,12,1,14,15} {16,4*,18 };//sort->swap(17,4)
同样，第二轮初始时就成如下样子了，很显然已经少于5个数字了：
//执行momedians之前
{ 3,8,13,17};
直接选出中位数8。
可以将上述过程使用C++代码描述如下（对于5个数字的排序，使用Insert sort可能会效率更高）。再次强调，下面这段代码唯一的作用，就是用来选出每次快排的基准：
//Median of Medians algorithm
int momedians(int* const low, int* const high) {
if (low >= high - 1) {
return *low;
}
//int grp_length = (int)std::sqrt(high - low);
int grp_length = 5, grp_idx = 0;
for (int* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
std::sort(l, r); //可以使用下文的void isort(int* const low, int* const high)
std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
}
return momedians(low, low + grp_idx);
}
写到这里已经将BFPRT算法核心介绍完毕了。
如果想测试使用Insert sort是否会带来效率上提升的小伙伴，可以试试下面这段代码isort，尝试着替换文中的std::sort排序函数。
//Insert sort
void isort(int* const low, int* const high) {
for (int* i = low + 1; i <= high; ++i) {
if (*i < *(i-1)) {
int border = *i, *j = i-1;
for ( ; border < *j; --j) {
*(j+1) = *j;
}
*(j+1) = border;
}
}
}
让我们思维次再回到momedians函数。从上述代码中可以看到grp_length = 5是一个固定值。那么，在BFPRT算法中，为什么是选5个作为分组？ 这个我也不是很明白，我也尝试使用sqrt(数组长度)作为分组的长度。
有兴趣的可以阅读 ACdreamer 的一篇《BFPRT算法原理》，他在文章结尾处，对为什么使用5作为固定分组长度进行了简单说明。同时，还附有BFPRT算法的最坏时间复杂度为
的证明。
好了，以下为完整的“BFPRT算法：时间复杂度
求第k小的数字”代码。如上文所说，算法主体功能是快排，只是在基准选取的时候使用了momedians算法——而不是直接取第一个数作为基准（严蔚敏版教材中的做法）。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//Median of Medians algorithm
int momedians(int* const low, int* const high) {
if (low >= high - 1) {
return *low;
}
int grp_length = 5, grp_idx = 0;
for (int* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
std::sort(l, r);
std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
}
return momedians(low, low + grp_idx);
}
//Quick sort
int qsort(int* const low, int* const high, int* const ptrk) {
int* l = low, *r = high;
if (l < r) {
int pivot = momedians(l, r);
while (l < r) {
while (l < r && *r >= pivot) {
--r;
}
*l = *r;
while (l < r && *l <= pivot) {
++l;
}
*r = *l;
}
*r = pivot;
}
//per qsort end, check left == right == ptrk?
return r == ptrk ? *ptrk :
(r > ptrk ?
qsort(low, r - 1, ptrk) :
qsort(r + 1, high, ptrk));
}
//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
int bfprt(int* const low, int* const high, const int k = 1) {
if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
}
return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}
int main() {
int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };
//cout << bfprt(&arr[0], &arr[0]+1, 1) << endl;
cout << bfprt(&arr[0], &arr[0] + 18, 18) << endl;
return 0;
}
以上的代码是针对int数组编写的，下面再测试一下对于其他类型的支持情况（这里直接粗暴的加上了一个模板）。有一点想强调的是，这里的bfprt函数参数是左闭右开区间[low,high)，同时k必须是从1开始的正数。
//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
template<typename T>
T bfprt(T* const low, T* const high, const int k = 1) {
if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
}
return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}
在main函数中对int、char、string类型进行了测试。完整代码如下…
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//Median of Medians algorithm
template<typename T>
T momedians(T* const low, T* const high) {
if (low >= high - 1) {
return *low;
}
int grp_length = 5, grp_idx = 0;
for (T* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
std::sort(l, r);
std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
}
return momedians(low, low + grp_idx);
}
//Quick sort
template<typename T>
T qsort(T* const low, T* const high, T* const ptrk) {
T* l = low, *r = high;
if (l < r) {
T pivot = momedians(l, r);
while (l < r) {
while (l < r && *r >= pivot) {
--r;
}
*l = *r;
while (l < r && *l <= pivot) {
++l;
}
*r = *l;
}
*r = pivot;
}
//per qsort end, check left == right == ptrk?
return r == ptrk ? *ptrk :
(r > ptrk ?
qsort(low, r - 1, ptrk) :
qsort(r + 1, high, ptrk));
}
//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
template<typename T>
T bfprt(T* const low, T* const high, const int k = 1) {
if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
}
return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}
int main() {
int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };
cout << bfprt(&arr[0], &arr[0] + 18, 18) << endl;
char str[7] = {'a','b','c','d','e','f','g'};
cout << bfprt(&str[0], &str[0] + 7, 4) << endl;
string s = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
cout << bfprt(&s[0], &s[0] + 26, 10) << endl;
return 0;
}
2018-12-25 北京 海淀
References:
[1] 为径，分治算法 求第k小元素
&
，2018-12-25
[2] ACdreamer，BFPRT算法原理 ，2018-12-25
[3] STL nth_element() , 2018-12-25